Matematyka.pl

Rozważmy grę w dużego Lotka. Losujemy \(\displaystyle{ 6}\) z \(\displaystyle{ 49}\) liczb. Losowanie może zakończyć się jednym z \(\displaystyle{ 13983816}\) wyników. Zakładając, że losowania odbywają się już jakiś czas, zgodnie z paradoksem urodzinowym możemy zacząć spodziewać się powtórzeń. Załóżmy, że wykonano jakieś \(\displaystyle{ \sqrt {13983816}}\) losowań. Jeżeli dotychczas żadna kombinacja nie wypadła dwa razy, to powinniśmy mieć zdaje się dosyć wysokie szanse, że w końcu któraś się powtórzy, zgodnie z paradoksem urodzinowym. W takim przypadku powinniśmy obstawiać jakieś z dotychczas wylosowanych blisko \(\displaystyle{ 3739}\) kombinacji, bo po tylu losowaniach występuje większe niż \(\displaystyle{ 50 \%}\) prawdopodobieństwo, że w końcu któreś z nich się powtórzą.

W takim przypadku zwiększamy więc znacznie swoje szanse obstawiając akurat którąś z tych wylosowanych już raz kombinacji, zamiast pozostałych blisko 14 milionów kombinacji. Czy mam rację? Jeżeli tak, to pewnie już wcześniej powinno się opłacać stawiać na kombinacje już wylosowane, nawet, gdy prawdopodobieństwo wylosowania drugi raz tej samej kombinacji jest niższe niż \(\displaystyle{ 50 \%}\). Po ilu losowaniach, zakładając, że nie padły jeszcze powtórzenia bardziej opłaca się obstawiać jakąś z kombinacji, która już padła? Czy generalnie nawet, gdy wylosowane kombinacje zaczęły się powtarzać, wciąż może bardziej opłacać się obstawiać \(\displaystyle{ n}\) przeszłych wyników (w końcu muszą zacząć się powtarzać znowu i znowu)?

Wydaje się, że powinno dać się wykazać, że w przypadku zorganizowania wielu takich gier w Lotto, taka strategia nie popłaca. Ale może chociaż w przypadku, gdybyśmy zaobserwowali anomalnie długi ciąg losowań bez żadnych powtórzeń (wobec tego zapewne również mało prawdopodobny), byłaby to przesłanka do obstawiania dotychczas wylosowanych liczb? A może jednak po prostu rozważam tutaj kolejny wariant paradoksu hazardzisty?

Szansa na bombę w samolocie to ok `1/1000000`. Żeby ją zmniejszyć, warto na pokład zabrac swoja bombę, bo dwie na raz są zupełnie nieprawdopodobne.

Wydaje mi się, że błąd tego rozumowania może polegać na tym, że owszem po \(\displaystyle{ 3739}\) kombinacji mamy prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ 50 \% }\), że któreś się powtórzą, ale to prawdopodobieństwo rośnie powoli. To znaczy po następnych \(\displaystyle{ 1400000}\) losowaniach ono wzrośnie może do \(\displaystyle{ 65 \%}\), po kolejnych \(\displaystyle{ 1400000}\) losowaniach wyniesie może \(\displaystyle{ 70 \%}\) itd.

Dlatego zaczynając grać na wypadnięcie jednej z \(\displaystyle{ 3739}\) kombinacji możemy bardzo długo poczekać i ciągle dokładać do obstawianej puli kombinacji nowe wyniki, co czyni strategię nie tylko nieopłacalną, ale nie dającą żadnych przewag. Ale jak to policzyć, to nie wiem.