Matematyka.pl

a) Dla jakich wartości \(\displaystyle{ A}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x,y,z)}\) jest gęstością wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y,Z)}\)?
b) Czy zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y,Z}\) są niezależne?

\(\displaystyle{ f(x,y,z)= \begin{cases} A &\text{dla }0<x<1, 0<y<1,0<z<1 \\ 0&\text{w przeciwnym wypadku} \end{cases} }\)

Dobrze.

Dodano po 5 minutach 5 sekundach:
Już następne zadanie?

Z własności gęstości:

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y, z) dx dy dz = 1.}\)

Dodano po 18 minutach 17 sekundach:
b)
Obliczamy gęstości brzegowe \(\displaystyle{ f_{1}, f_{2}, f_{3} }\) i sprawdzamy czy ich iloczyn jest równy gęstości łącznej \(\displaystyle{ f.}\)

Dodano po 1 godzinie 15 minutach 2 sekundach:
b)

Albo bezpośrednio całkując gęstość łączną \(\displaystyle{ f(x,y,z), }\) obliczamy gęstości brzegowe \(\displaystyle{ f_{XY}(x,y), f_{XZ}(x,z), f_{YZ}(y,z)}\) i sprawdzamy, czy spęłniona jest przynajmniej jedna z równości:

\(\displaystyle{ f_{XY}(x,y)= f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y),}\)

\(\displaystyle{ f_{XZ}(x,y)= f_{X}(x)\cdot f_{Z}(z), }\)

\(\displaystyle{ f_{YZ}(y,z)= f_{Y}(y)\cdot f_{Z}(z) ? }\)