Funkcja charakterystyczna, gęstość prawdopodobieństwa

przemo9191 · Post autor: **przemo9191** » 10 paź 2020, o 15:17

Prośba o sprawdzenie.

Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\), o funkcji charakterystycznej postaci:
a) \(\displaystyle{ \phi(t) = \cos(t)}\)
b) \(\displaystyle{ \phi(t) =\sum\limits_k\left(\frac{1}{2}\right)^k \cos(kt)}\)

a)

Cosinus jest funkcją okresową na przedziale [/latex]2\pi\(\displaystyle{ więc stosuję następujący wzór:

\(\displaystyle{ \forall_{k\in\mathbb{Z}} p_k =
\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi e^{-itk}\phi(t)dt =
\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi e^{-itk} \cos(t)dt =
\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi [\cos(tk)-i \sin(tk)] \cos(t)dt = \\
\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \cos(tk)\cos(t)dt + \frac{i}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \sin(tk)\cos(t)dt}\)

Drugi czynnik w powyższym równaniu wynosi \(\displaystyle{ 0}\) bo:

\(\displaystyle{ \forall_{k\in\mathbb{Z}} \int\limits_{-\pi}^\pi \sin(tk)\cos(t)dt = 0}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ \forall_{k\in\mathbb{Z}} p_k = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \cos(tk)\cos(t)dt}\)

Podstawiając kolejne liczby za \(\displaystyle{ k}\) otrzymuję:

\(\displaystyle{ p_0 = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \cos(0)\cos(t)dt =
\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \cos(t)dt = 0}\)

\(\displaystyle{ p_1 = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \cos(t)\cos(t)dt =
\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \cos^2(t)dt =
\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \cos(t)dt =
\frac{1}{2\pi}\frac{1}{2}[t+\sin(t)cos(t)]_{-\pi}^\pi = \frac{1}{4\pi}(\pi + pi) = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ p_{-1} = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \cos(-t)\cos(t)dt =
\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \cos^2(t)dt = \frac{1}{2}}\)

Ostatecznie:

\(\displaystyle{ P(X = -1) = \frac{1}{2}, P(X = 1) = \frac{1}{2}}\)

b) Czy w tym podpunkcie można użyć tego samego wzoru?}\)