Matematyka.pl

Dziesięciotomową encyklopedie ustawiono na jednej półce. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
a) tomy 1,2,3 będą stały obok siebie (dowolna kolejność)
b) tomy 1,2,3 tomy będą rozdzielone jedną książką (czyli np. 1-2-3 i również kolejność dowolna)

(a)
Permutujemy (przestawiamy) te trzy sąsiednie tomy encyklopedii - na \(\displaystyle{ 3! }\) sposobów.

"Zlepiamy" je i przesuwamy \(\displaystyle{ \rightarrow }\) wzdłuż dziesięciu tomów o \(\displaystyle{ 4 }\) miejsca.

\(\displaystyle{ 123 \ \ 4 \ \ 6 \ \ 7 \ \ 8 \ \ 9 \ \ 10 }\)

Pozostałe tomy przestawiamy na \(\displaystyle{ 7! }\) sposobów.

Stąd liczba wszystkich sposobów:

\(\displaystyle{ 4\cdot 3! \cdot 7! = 4! \cdot 7! }\)

(b)
Potrafisz !

Zbiór \(\displaystyle{ \Omega }\) i jego liczność też potrafisz określić.

Jeden sposób: \(\Omega\) to zbiór wszystkich ustawień dziesięciu książek w szeregu. \(|\Omega|=10!\).
Drugi sposób: \(\Omega\) to zbiór trzyelementowych podzbiorów dziesięcioelementowego zbioru miejsc na półce - wybór miejsc, na których znajdą się tomy 1, 2, 3. Wtedy \(|\Omega|=\binom{10}3\).

Drugi sposób jest tu prostszy, bo na przykład w punkcie a) moc zdarzenia sprzyjającego to po prostu \(8\).

janusz47 pisze: ↑14 wrz 2022, o 17:36 "Zlepiamy" je i przesuwamy \(\displaystyle{ \rightarrow }\) wzdłuż dziesięciu tomów o \(\displaystyle{ 4 }\) miejsca.

Dlaczego o cztery miejsca?

janusz47 pisze: ↑14 wrz 2022, o 17:36 \(\displaystyle{ 123 \ \ 4 \ \ 6 \ \ 7 \ \ 8 \ \ 9 \ \ 10 }\)

Zabrakło tomu piątego.

janusz47 pisze: ↑14 wrz 2022, o 17:36 Stąd liczba wszystkich sposobów:

\(\displaystyle{ 4\cdot 3! \cdot 7! = 4! \cdot 7! }\)

Powinno wyjść \(3!\cdot 8!\). Permutujemy zbiór ośmioelementowy, przy czym jeden z tych elementów składa się z trzech tomów, które też permutujemy.

janusz47 pisze: ↑14 wrz 2022, o 17:44 Zbiór \(\displaystyle{ \Omega }\) i jego liczność też potrafisz określić.

To oczywiście powinno być na początku, bo od określenia przestrzeni zależy dalsze rozwiązanie.

Definiujemy zdarzenie:

\(\displaystyle{ A }\) - tomy encyklopedii \(\displaystyle{ 1 \ \ 2 \ \ 3 }\) stoją obok siebie w dowolnej kolejności.

Pytanie 1

Z jakim wzorem wiąże się treść zadania ?

Stosujemy wzór klasyczny:

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{k}{l}, }\)

gdzie \(\displaystyle{ l - }\) liczba wszystkich ustawień tomów encyklopedii,

\(\displaystyle{ k }\) - liczba ustawień, w których tomy encyklopedii \(\displaystyle{ 1, \ \ 2, \ \ 3 }\) stoją obok siebie w dowolnej kolejności.

Pytanie 2

Jaka jest istota zdarzeń elementarnych?

Ustawianie, (przestawianie) osób, przedmiotów w tym książek to klasyczny przykład permutacji zbioru.

Mamy \(\displaystyle{ 10 ! }\) wszystkich możliwych ustawień dziesięciu tomów encyklopedii.

Znajdujemy te ustawienia, które sprzyjają zajściu zdarzenia \(\displaystyle{ A }\)

Ustawienie 1

\(\displaystyle{ t1 \ \ t2 \ \ t3 \ \ ... \ \ .... }\) liczba permutacji w danym ustawieniu \(\displaystyle{ 3!\cdot 7!}\)

Ustawienie 2

\(\displaystyle{ ... \ \ t1 \ \ t2 \ \ t3 \ \ .... }\) liczba permutacji w danym ustawieniu \(\displaystyle{ 3! \cdot 7! }\)

Ustwienie 3

\(\displaystyle{ ... \ \ ... \ \ t1\ \ t2 \ \ t3 \ \ . }\) liczba permutacji w danym ustawieniu \(\displaystyle{ 3! \cdot 7! }\)

Skąd

\(\displaystyle{ k = 3\cdot 3! \cdot 7! }\) - ustawień sprzyjających zdarzeniu \(\displaystyle{ A.}\)

Wobec czego otrzymujemy:

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{3\cdot 3! \cdot 7!}{10!} = 0,025 }\)

Program R

Tyle że ustawień 2 jest więcej niż jedno

xenoneq_o0 ,

rozwiąż samodzielnie dodatkowe zadanie:

Dziesięć osób, wśród których znajdują się Ela Basia i Celina ustawiono w szereg. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia:

(a)
wymienione osoby stoją obok siebie ,

(b)
Ela i Basia stoją obok siebie, natomiast Celina nie sąsiaduje z żadną z nich.

Tomy encyklopedii przesuwamy o jeden tom w prawo wtedy liczba sprzyjających zdarzeń zdarzeniu \(\displaystyle{ A }\) jest równa:

\(\displaystyle{ 8\cdot 3! \cdot 7! }\)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{8 \cdot 3!\cdot 7!}{10!}= 0, 0(6)}\)