Matematyka.pl

Czy można obciążyć tak wszystkie ściany dwóch kostek, aby przy jednoczesnym rzucie tymi kostkami wszystkie prawdopodobieństwa sum oczek równych od \(\displaystyle{ 2}\) aż do \(\displaystyle{ 12}\) były takie same

Świetne pytanie!
Przy założeniu, że obie kostki mają być tak samo obciążone (co nie jest w sumie wskazane w treści) - mój sposób polega na tym, by założyć, że jest to możliwe i przez \(p_1, ..., p_6\) oznaczyć szukane prawdopodobieństwa. Rozważam następnie równości takie jak \(\text{P}(S=4)=p_1p_3+p_2p_2+p_3p_1\), po drodze zauważając na przykład, że \(p_1=p_6\). Ostatecznie prowadzi mnie to do sprzeczności.

Jakąś nadzieję może nieść jeszcze zniesienie założenia, że kości mają być identyczne.

Niech \(P(X_1=S)\) oznacza prawdopodobieństwo, że na pierwszej z kostek wypadło \(S\) oczek.
Analogicznie \(P(X_2=S)\) oznacza prawdopodobieństwo, że na drugiej z kostek wypadło \(S\) oczek.
Wszystkie sumy od \(2\) do \(12\) są równie prawdopodobne, a zatem prawdopodobieństwo wypadnięcia danej z nich wynosi \(\frac{1}{11}\). A zatem
\(\begin{cases}\frac{1}{11}=P(X_1+X_2=2)=P(X_1=1)P(X_2=1) \\
\frac{1}{11}=P(X_1+X_2=12)=P(X_1=6)P(X_2=6)\end{cases} \).
Załóżmy, że \(P(X_1+X_2)=\frac{1}{11}\). Wtedy
\(\frac{1}{11}=P(X_1+X_2=7)=P(X_1=1)P(X_2=6)+...+P(X_1=6)P(X_2=1)\ge \)
\(P(X_1=1)P(X_2=6)+P(X_1=6)P(X_2=1) =\frac{P(X_2=6)}{P(X_2=1)}P(X_1=1)P(X_2=1)+\)
\( \frac{P(X_2=1)}{P(X_2=6)}P(X_1=6)P(X_2=6)=\frac{1}{11}(\frac{P(X_2=1)}{P(X_2=6)}+\frac{P(X_2=6)}{P(X_2=1)})=\frac{1}{11}((\sqrt{\frac{P(X_2=1)}{P(X_2=6)}}-\sqrt{\frac{P(X_2=6)}{P(X_2=1)}})^2+2)\ge\frac{2}{11}>\frac{1}{11}\).
Otrzymana sprzeczność prowadzi do wniosku, że nie da się obciążyć kostek tak by prawdopodobieństwo wyrzucenia każdej z możliwych sum było tak samo prawdopodobne.