Matematyka.pl

Dobrać stałe \(\displaystyle{ A, B}\) tak, aby funkcja określona wzorem
\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0 \quad gdy \quad x \leq -1\\ 1 \quad gdy \quad x\geq 1\\ A+B\arcsin{x} \quad gdy \quad x\in(-1,1) \end{cases} }\)

była dystrybuantą zmiennej losowej typu ciągłego. Wyznaczyć gęstość tej zmiennej.

Wartości współczynników \(\displaystyle{ A, B }\) wyznaczamy z jednej z własności dystrybuanty, - jako funkcji przynajmniej lewostronnie ciągłej.

W naszym przypadku:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to -1^{-}} F(x) = 0 }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1^{-}} F(x) = 1 }\)

\(\displaystyle{ A = \ \ ..., \ \ B = \ \ ...}\)

Po wyznaczeniu i podstawieniu wartości współczynników \(\displaystyle{ A, B }\) do wzoru dystrybuanty, obliczamy gęstość \(\displaystyle{ f(x) }\) zmiennej losowej ciągłej jako pochodną dystrybuanty:

\(\displaystyle{ f(x) = F'(x) }\), uwzględniając własności funkcji gęstości.

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} ...\\ ... \end{cases} \ \ }\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ A = \frac{1}{2}, \ \ B = \frac{1}{\pi}.}\)

W -1 mamy lewostronną ciągłość, a w 1 aby była, musimy mieć \(\displaystyle{ A+B \cdot \frac{\pi}{2}=1}\), czyli jedno równanie, a więc będzie nieskończenie wiele rozwiązań?

Bo powyższe wyniki uzyskujemy, kiedy założymy w -1 ciągłość także prawostronną?

A w \(\displaystyle{ -1 }\) nie musi istnieć granica lewostronna ?

A ona nie istnieje i tak po prostu dlatego, że \(\displaystyle{ F(x)=0 }\) dla \(\displaystyle{ x\leq -1}\)?

Dlaczego nie istnieje? Dlatego, że jej wartość jest równa zeru ?

Istnieje i należy obliczyć granicę lewostronną w punkcie \(\displaystyle{ -1. }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -1^{-}} = F(x) = 0, }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to -1^{-}} ( A +B\arcsin(x)) = A - B \cdot \frac{\pi}{2} = 0 \ \ (*) }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1^{-}} F(x) = 1,}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1^{-}} ( A +B \arcsin(x)) = A + B \cdot \frac{\pi}{2} = 1 \ \ (**) }\)

Rozwiązując układ równań \(\displaystyle{ (*), (**) }\), otrzymujemy

\(\displaystyle{ A = \frac{1}{2}, \ \ B = \frac{1}{\pi}. }\)

A dlaczego liczymy granicę w -1 z lewej strony z tego wzoru, skoro on obowiązuje tylko na prawo od -1?

\(\displaystyle{ \lim_{x\to -1^{-}} ( A +B\arcsin(x)) = A - B \cdot \frac{\pi}{2} = 0 \ \ (*) }\)

Dlaczego " on obowiązuje tylko na prawo ?"

Przyjmuje się że dystrybuanta jest funkcją lewostronnie ciągłą. W niektórych podręcznikach z teorii prawdopodobieństwa (głównie anglo-amerykańskich) jak i u Panów Jacka Jakubowskiego i Rafała Sztencla: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa jest prawostronnie ciągła.

janusz47 pisze: ↑26 gru 2021, o 12:45 Dlaczego " on obowiązuje tylko na prawo ?"

Dla argumentów większych od -1.

Znak \(\displaystyle{ \le }\) jest "znakiem mniejsze lub równe".

Chodzi mi o ten fragment ze wzorem
\(\displaystyle{ A+B\arcsin{x}}\), który jest dla \(\displaystyle{ x\in (-1,1)}\)
Dlaczego tu badamy granicę w -1 z lewej?

Bo funkcja dana przez Panią wzorem ma być dystrybuantą. Dobierając jej wartości parametrów \(\displaystyle{ A, B }\) " zlepiamy" jej wzór, aby mogła reprezentować funkcję rozkładu czyli dystrybuantę. Jest to rozkład Arkusa-Sinusa.

Jaka jest gętość \(\displaystyle{ f(x) }\) tego rozkładu ?

Proszę obliczyć pochodną dystrybuanty.

Niezależnie od tego czy przyjmiemy, że dystrybuanta ma być lewostronnie czy prawostronnie ciągła, w zadaniu chodzi o dystrybuantę zmiennej losowej ciągłej, więc ostatecznie i tak należy sprawdzić obustronną ciągłość. To zaś sprowadza się do dwóch równań:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -1^+} A + B \arcsin x = 0 \\[1ex]
\lim_{x \to 1^-} A + B \arcsin x = 1}\)

Słuszne są zatem pytania o to, czy poniższa granica nie powinna być liczona z drugiej strony

janusz47 pisze: ↑26 gru 2021, o 10:49\(\displaystyle{ \lim_{x\to -1^{-}} ( A +B\arcsin(x)) = A - B \cdot \frac{\pi}{2} = 0 \ \ (*) }\)

i odpowiedź brzmi: owszem, powinna być.

Jeśli już koniecznie chciałoby się sprawdzać lewostronną ciągłość w tym punkcie, do czego w zasadzie wystarcza rzut oka, to tylko i wyłącznie licząc granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -1^-} 0 = 0}\).

Dziękuję bardzo za wyjaśnienie. Jeśli chodzi o gęstość, to będzie wyglądać tak?
\(\displaystyle{ fx)= \begin{cases} 0 \quad gdy \quad x \in \left[ - \infty , -1\right] \cup \left[ 1, + \infty \right] \\ \frac{1}{\pi \sqrt{1-x^{2} } } \quad gdy \quad x\in(-1,1) \end{cases} }\)

Dasio11 pisze: ↑26 gru 2021, o 14:50

Słuszne są zatem pytania o to, czy poniższa granica nie powinna być liczona z drugiej strony

janusz47 pisze: ↑26 gru 2021, o 10:49\(\displaystyle{ \lim_{x\to -1^{-}} ( A +B\arcsin(x)) = A - B \cdot \frac{\pi}{2} = 0 \ \ (*) }\)

i odpowiedź brzmi: owszem, powinna być.

Jak z dziecięcej zagadki: znajdź dwa powody, dla których tej granicy nie powinno się liczyć:
1) bo dystrybuanta na lewo od `-1` zadana jest zupełnie innym wzorem
2) bo arkus sinus ma mało sensu dla `x<-1`