co jest bardziej prawdopodobne?
-
orchidea1990
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 6 paź 2023, o 11:33
- Płeć: Kobieta
- wiek: 35
co jest bardziej prawdopodobne?
Rzucamy 11 razy symetryczną monetą. Co jest bardziej prawdopodobne: wylosowanie parzystej czy nieparzystej liczby orłów? Odpowiedz uzasadnij.
-
orchidea1990
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 6 paź 2023, o 11:33
- Płeć: Kobieta
- wiek: 35
Re: co jest bardziej prawdopodobne?
Uważam że są tak samo prawdopodobne ale jak uzasadnić ? Czy źle myślę ?
Dodano po 2 godzinach 12 minutach 53 sekundach:
Chyba jednak większe będzie nieparzystej ilości orłów bo rzucamy 11 razy i tam może się pojawić 11 orłów. Dobrze myślę ?
Dodano po 2 godzinach 12 minutach 53 sekundach:
Chyba jednak większe będzie nieparzystej ilości orłów bo rzucamy 11 razy i tam może się pojawić 11 orłów. Dobrze myślę ?
Re: co jest bardziej prawdopodobne?
Parzysta liczba orłów:
\(\displaystyle{ A - \{(R,R), (O,O)\}}\)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{2}{11}}\)
Nieparzysta liczba orłów:
\(\displaystyle{ B - \{(O,R), (R,O)\}}\)
\(\displaystyle{ P(B) = \frac{2}{11}}\)
Odp.: Tak samo prawdopodobne
\(\displaystyle{ A - \{(R,R), (O,O)\}}\)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{2}{11}}\)
Nieparzysta liczba orłów:
\(\displaystyle{ B - \{(O,R), (R,O)\}}\)
\(\displaystyle{ P(B) = \frac{2}{11}}\)
Odp.: Tak samo prawdopodobne
Ostatnio zmieniony 14 paź 2023, o 14:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10232
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: co jest bardziej prawdopodobne?
Skoro łączne prawdopodobieństwo parzystej i nieparzystej liczby orłów wynosi jedynie \(\displaystyle{ \frac{2}{11} + \frac{2}{11} = \frac{4}{11}}\), to jaka będzie ta liczba w pozostałych przypadkach?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7920
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: co jest bardziej prawdopodobne?
Schemat Bernoullego
\(\displaystyle{ p_{k} = {n\choose k}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}.}\)
\(\displaystyle{ n = 11.}\)
\(\displaystyle{ p = \frac{1}{2} }\) - prawdopodobieństwo wyrzucenia orła.
\(\displaystyle{ 1-p = \frac{1}{2} }\) - prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki.
\(\displaystyle{ p_{1} + p_{3} + p_{5} + p_{7} +p_{9} + p_{11} = {11\choose 1} \left(\frac{1}{2}\right)^1 \left(\frac{1}{2}\right)^{10} + {11\choose 3}\left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^8 + {11\choose 5}\left(\frac{1}{2}\right)^5 + {11\choose 7}\left(\frac{1}{2}\right)^{7}\left(\frac{1}{2}\right)^4 + {11\choose 9}\left(\frac{1}{2}\right)^9 \left(\frac{1}{2}\right)^2 + {11\choose 11}\left(\frac{1}{2}\right)^{11} \left(\frac{1}{2}\right)^0 = }\)
\(\displaystyle{ = \left(\frac{1}{2}\right)^{11}\left[ {11\choose 1} + {11\choose 3} + {11\choose 5} + {11\choose 7} + {11\choose 9} + {11\choose 11} \right] =\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ p_{0} + p_{2} + p_{4} + p_{6} + p_{8} + p_{10} = {11\choose 0} \left(\frac{1}{2}\right)^0 \left(\frac{1}{2}\right)^{11} +{11\choose 2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{9} + {11\choose 4}\left(\frac{1}{2}\right)^4 \left(\frac{1}{2}\right)^7 + {11\choose 6}\left(\frac{1}{2}\right)^6\left(\frac{1}{2}\right)^5 + {11\choose 8}\left(\frac{1}{2}\right)^8 \left(\frac{1}{2}\right)^3 + {11\choose 10}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\left(\frac{1}{2}\right)^1 = }\)
\(\displaystyle{ = \left(\frac{1}{2}\right)^{11}\left[ {11\choose 0} + {11\choose 2} + {11\choose 4} + {11\choose 6} + {11\choose 8} \ \ + {11\choose 10} \right] = \frac{1}{2}. }\)
Program R
\(\displaystyle{ p_{k} = {n\choose k}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}.}\)
\(\displaystyle{ n = 11.}\)
\(\displaystyle{ p = \frac{1}{2} }\) - prawdopodobieństwo wyrzucenia orła.
\(\displaystyle{ 1-p = \frac{1}{2} }\) - prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki.
\(\displaystyle{ p_{1} + p_{3} + p_{5} + p_{7} +p_{9} + p_{11} = {11\choose 1} \left(\frac{1}{2}\right)^1 \left(\frac{1}{2}\right)^{10} + {11\choose 3}\left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^8 + {11\choose 5}\left(\frac{1}{2}\right)^5 + {11\choose 7}\left(\frac{1}{2}\right)^{7}\left(\frac{1}{2}\right)^4 + {11\choose 9}\left(\frac{1}{2}\right)^9 \left(\frac{1}{2}\right)^2 + {11\choose 11}\left(\frac{1}{2}\right)^{11} \left(\frac{1}{2}\right)^0 = }\)
\(\displaystyle{ = \left(\frac{1}{2}\right)^{11}\left[ {11\choose 1} + {11\choose 3} + {11\choose 5} + {11\choose 7} + {11\choose 9} + {11\choose 11} \right] =\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ p_{0} + p_{2} + p_{4} + p_{6} + p_{8} + p_{10} = {11\choose 0} \left(\frac{1}{2}\right)^0 \left(\frac{1}{2}\right)^{11} +{11\choose 2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{9} + {11\choose 4}\left(\frac{1}{2}\right)^4 \left(\frac{1}{2}\right)^7 + {11\choose 6}\left(\frac{1}{2}\right)^6\left(\frac{1}{2}\right)^5 + {11\choose 8}\left(\frac{1}{2}\right)^8 \left(\frac{1}{2}\right)^3 + {11\choose 10}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\left(\frac{1}{2}\right)^1 = }\)
\(\displaystyle{ = \left(\frac{1}{2}\right)^{11}\left[ {11\choose 0} + {11\choose 2} + {11\choose 4} + {11\choose 6} + {11\choose 8} \ \ + {11\choose 10} \right] = \frac{1}{2}. }\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> (1/2)^(11)*(choose(11,1)+ choose(11,3)+choose(11,5)+choose(11,7)+choose(11,9)+choose(11,11))
[1] 0.5
> (1/2)^(11)*(choose(11,0)+choose(11,2)+ choose(11,4)+choose(11,6)+choose(11,8)+choose(11,10))
[1] 0.5
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22225
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3757 razy
Re: co jest bardziej prawdopodobne?
Jeżeli wybieramy tak skomplikowana drogę, to matematyk zrobi to tak:
\(\displaystyle{ p_{1} + p_{3} + p_{5} + p_{7} +p_{9} + p_{11}= \left(\frac{1}{2}\right)^{11}\left[ {11\choose 1} + {11\choose 3} + {11\choose 5} + {11\choose 7} + {11\choose 9} + {11\choose 11} \right]\\
=\left(\frac{1}{2}\right)^{11}\left[ {11\choose {11-1}} + {11\choose {11-3}} + {11\choose {11-5}} + {11\choose {11-7}} + {11\choose {11-9}} + {11\choose {11-11}} \right]\\
=p_{10} + p_{8} + p_{6} + p_{4} + p_{2} + p_{0}}\)
\(\displaystyle{ p_{1} + p_{3} + p_{5} + p_{7} +p_{9} + p_{11}= \left(\frac{1}{2}\right)^{11}\left[ {11\choose 1} + {11\choose 3} + {11\choose 5} + {11\choose 7} + {11\choose 9} + {11\choose 11} \right]\\
=\left(\frac{1}{2}\right)^{11}\left[ {11\choose {11-1}} + {11\choose {11-3}} + {11\choose {11-5}} + {11\choose {11-7}} + {11\choose {11-9}} + {11\choose {11-11}} \right]\\
=p_{10} + p_{8} + p_{6} + p_{4} + p_{2} + p_{0}}\)
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22225
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3757 razy
Re: co jest bardziej prawdopodobne?
Nie. Każdemu rzutowi w którym wypada nieparzysta liczba orłów odpowiada symetryczny rzut, w którym wypada parzysta liczba orłóworchidea1990 pisze: ↑6 paź 2023, o 19:37 Uważam że są tak samo prawdopodobne ale jak uzasadnić ? Czy źle myślę ?
Dodano po 2 godzinach 12 minutach 53 sekundach:
Chyba jednak większe będzie nieparzystej ilości orłów bo rzucamy 11 razy i tam może się pojawić 11 orłów. Dobrze myślę ?