Matematyka.pl

W grupie 15 dziewcząt i 12 chłopców rozlosowano 5 biletów do teatru, w tym dwa w loży. Jakie jest prawdopodobieństwo, że bilety w loży otrzymają dziewczęta?

Wpierw myślałam, że należy to rozwiązać przy użyciu prawdopodobieństwa warunkowego i warunkiem miałoby być wylosowanie biletu w loży, a zdarzeniem głównym wylosowanie biletu przez dziewczynę.
Wylosowanie 2 biletów z pięciu to kombinacja, 2 dziewcząt z 15 również, ale nie wiem jak to połączyć ani jak uwzględnić całość grupy. Rozważałam również kombinację z 27 osób, tylko wtedy jak uwzględnić to, że wszystko jedno kto wylosuje pozostałe 3 bilety?

Proszę o pomoc... Utknęłam.

Doświadczenie polega na rozdaniu dwóch biletów "lepszych" i trzech "gorszych".
Co do zdarzenia - ja bym rozpatrzył przypadki:

• wszystkie bilety dostały dziewczęta
• 4 dziewczyny dostały bilety, w tym dwie - lożę
• 3 dziewczyny dostały bilety, w tym dwie - lożę
• 2 dziewczyny dostały bilety, obie - lożę

Pozdrawiam

Dziękuję za podpowiedź. Tylko teraz tak:

Omega czyli liczba wszystkich zdarzeń elementarnych to kombinacja \(\displaystyle{ 5}\) osób z \(\displaystyle{ 27}\) czyli \(\displaystyle{ 80730.}\)

Zdarzenie 1 - wszystkie bilety dostały dziewczęta:
Kombinacja \(\displaystyle{ 5}\) osób z \(\displaystyle{ 15}\) czyli \(\displaystyle{ 3003}\)
\(\displaystyle{ {15 \choose 5}=3003 }\)

Tutaj nie ma potrzeby rozróżniania biletów. W kolejnych przypadkach już jednak jest. Jak to uwzględnić chociażby przy kolejnym przypadku?
Czy może:
Zdarzenie 2 - 4 dziewczyny dostały bilety w tym 2 w loży:
Kombinacja \(\displaystyle{ 4}\) z \(\displaystyle{ 15}\) pomnożona przez \(\displaystyle{ 2}\) z \(\displaystyle{ 2}\) i przez \(\displaystyle{ 2}\) z \(\displaystyle{ 3}\), co daje \(\displaystyle{ 4905...}\)

JHN pisze: ↑30 sty 2024, o 09:47 Doświadczenie polega na rozdaniu dwóch biletów "lepszych" i trzech "gorszych".

Zatem
\(|\Omega|={27\choose2}\cdot{25\choose3}\)
i w pierwszym przypadku
\(|A_1|={15\choose2}\cdot{13\choose3}\)
itd...

Pozdrawiam

No dobrze, zatem:

\(\displaystyle{ \left|\Omega \right| = {27 \choose 2} {25 \choose 3} =807 300 }\)

\(\displaystyle{ \left|\ A _{1} \right| = {15 \choose 2} {13 \choose 3} = 30030 }\)

\(\displaystyle{ \left|\ A _{2} \right| = {15 \choose 2} {13 \choose 2} = 8190 }\)

\(\displaystyle{ \left|\ A _{3} \right| = {15 \choose 2} {13 \choose 1} = 1365 }\)

\(\displaystyle{ \left|\ A _{4} \right| = {15 \choose 2} = 105 }\)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{A _{1}+ A _{2}+A _{3}+A _{4}}{\left|\Omega \right|}= \frac{39690}{807300} = \frac{147}{2990} }\)


Wg odpowiedzi do zadania powinno wyjść 35/702, więc chyba gdzieś jeszcze jest błąd...

kasia_basia pisze: ↑31 sty 2024, o 15:03 \(\displaystyle{ \left|\ A _{2} \right| = {15 \choose 2} {13 \choose 2} = 8190 }\)

A co z piątym biletem?
\(\displaystyle{ \left|\ A _{2} \right| = {15 \choose 2}\cdot {13 \choose 2}\cdot{12\choose1}=\ldots }\)

Pozdrawiam
PS. Wg mnie odpowiedzą jest \(\displaystyle{ {35\over117}}\)

Można trochę mniej rachować (bez rozbijania na przypadki) korzystając ze spostrzeżenia, że w zadaniach kombinatorycznych tego typu przedmioty są rozróżnialne nawet, jeśli w treści zadania nie są. Możemy wyobrazić sobie, że bilety mają dwie strony: z przodu widać napisy "loża", "loża", "zwykły", "zwykły" i "zwykły", a z tyłu napisy "loża-1", "loża-2", "zwykły-3", "zwykły-4", "zwykły-5". Na prawdopodobieństwo, że dziewczyny dostaną bilety do loży nie ma wpływu, czy losujemy patrząc na przód, czy tył biletów.

Ale patrząc na tył rachunki wyglądają tak: ustawmy wszystkie 27 osób w szeregu i ponumerujmy. \(\displaystyle{ \Omega}\) to rodzina różnowartościowych ciągów pięcioelementowych ze zbioru $\{1, 2, \ldots, 27\}$, a zdarzenie sprzyjające składa się z tych ciągów, których pierwsze dwa wyrazy należą do $\{1, \ldots, 15\}$ (czyli że bilety loża-1 i loża-2 trafią do dziewczyn).

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{15 \cdot 14 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23}{27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23} = \frac{35}{117}}\)

Innymi słowy, zadanie można rozpatrywać tak, jakby zwykłych biletów w ogóle nie było.