Zad. 3 z finału XII OMJ

Hayran · Post autor: **Hayran** » 20 maja 2017, o 21:33

Na finale tegorocznego finału OMJ pojawiło się następujące zadanie:

Dane są takie dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), że każda z liczb \(\displaystyle{ ab}\) oraz \(\displaystyle{ (a+1)(b+1)}\) jest kwadratem liczby całkowitej. Udowodnij, że istnieje taka liczba całkowita \(\displaystyle{ n>1}\), dla której liczba \(\displaystyle{ (a+n)(b+n)}\) jest kwadratem liczby całkowitej

Zastanawiam się, czy oprócz rozwiązania \(\displaystyle{ n=ab}\) istnieje jakieś inne (bo na omawianiu zadań ani dr Guzicki, ani żaden inny uczestnik o takowym nie wspominał).

Zapraszam do dyskusji

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 20 maja 2017, o 21:57

Liczby \(\displaystyle{ a=3}\), \(\displaystyle{ b=48}\) spełniają założenia.

\(\displaystyle{ n=3\cdot 48}\) pasuje, ale dla przykładu mogą istnieć inne rozwiązania: \(\displaystyle{ n=12}\) lub mniej oczywiste \(\displaystyle{ n=481}\).

Hayran · Post autor: **Hayran** » 20 maja 2017, o 22:06

W tym przypadku tak, ale czy istnieje jakaś reguła na \(\displaystyle{ n}\) inne niż \(\displaystyle{ ab}\) (zachodzące dla każdego \(\displaystyle{ a,b}\))

dec1 · Post autor: **dec1** » 22 maja 2017, o 02:12

Też się nad tym zastanawiałem.

Na razie tylko to tu zostawię:

Ukryta treść:

Kod: Zaznacz cały

a: 1 b: 49 n: 5, 15, 26, 49, 120, 
a: 1 b: 1681 n: 9, 13, 20, 34, 47, 53, 69, 111, 124, 134, 168, 209, 241, 255, 319, 342, 377, 485, 506, 528, 559, 685, 749, 846, 944, 1023, 1057, 1209, 1343, 1444, 1586, 1681, 1749, 2022, 2159, 2365, 2737, 2808, 2882, 3124, 3401, 3609, 4095, 4234, 5069, 5487, 6240, 6533, 7580, 7999, 8977, 10200, 10934, 11773, 13871, 16809, 18768, 21217, 24366, 28565, 34444, 43263, 57962, 87361, 175560, 
a: 2 b: 242 n: 3, 8, 14, 28, 47, 52, 78, 96, 119, 133, 190, 248, 287, 336, 484, 603, 782, 1081, 1680, 3479, 
a: 3 b: 48 n: 12, 33, 77, 144, 481, 
a: 3 b: 675 n: 11, 25, 47, 51, 81, 125, 166, 172, 221, 286, 297, 375, 481, 575, 697, 861, 1026, 1247, 1441, 1691, 2025, 2806, 3197, 3700, 4371, 6721, 9072, 13775, 27886, 
a: 3 b: 9408 n: 92, 129, 225, 624, 717, 732, 833, 1372, 1536, 1856, 2880, 2913, 3132, 3361, 4557, 4848, 5488, 6721, 7521, 7932, 7997, 10048, 10557, 11169, 15873, 15984, 16717, 20336, 21372, 22305, 28224, 30720, 31997, 38529, 40092, 41968, 49997, 56304, 56641, 69825, 72957, 75776, 93633, 101153, 124656, 129357, 159132, 178081, 218688, 228092, 268321, 290160, 383265, 397372, 486717, 665409, 814320, 879841, 1159168, 1469532, 2005616, 2452353, 4417997, 7366464, 
a: 4 b: 1444 n: 8, 14, 26, 56, 77, 92, 124, 143, 176, 238, 246, 290, 320, 371, 476, 584, 672, 722, 806, 957, 976, 1079, 1148, 1365, 1496, 1730, 1918, 2024, 2201, 2556, 2912, 3358, 3626, 4103, 4485, 4700, 5776, 6494, 7392, 7931, 10088, 12246, 13685, 15484, 20882, 25201, 31680, 42479, 64078, 128877, 
a: 5 b: 2645 n: 17, 28, 50, 59, 93, 105, 164, 171, 238, 245, 325, 427, 534, 589, 717, 730, 836, 875, 1053, 1073, 1275, 1326, 1480, 1729, 1844, 2107, 2396, 2425, 2745, 3131, 3174, 3605, 3713, 4200, 4558, 4797, 5341, 5995, 6650, 7437, 7798, 8400, 8619, 9605, 10811, 11908, 13225, 16124, 16849, 18497, 20475, 22893, 25916, 27730, 34987, 38286, 42245, 47084, 53133, 71281, 85800, 107579, 143878, 216477, 434276, 
a: 6 b: 4374 n: 20, 44, 85, 115, 176, 250, 319, 345, 426, 540, 669, 680, 826, 955, 1244, 1450, 1676, 1695, 1944, 2160, 2451, 2794, 3140, 3751, 4090, 4544, 5035, 5076, 5610, 6069, 6235, 7400, 8119, 8569, 9380, 10076, 11005, 12090, 13176, 14444, 16801, 19160, 20794, 22195, 22701, 26244, 28425, 30970, 40426, 43700, 47520, 54615, 64076, 72355, 83000, 89551, 97194, 130315, 146876, 168169, 196560, 295930, 395301, 594044, 1190275, 
a: 7 b: 6727 n: 23, 33, 49, 77, 118, 133, 162, 185, 209, 235, 273, 371, 441, 493, 533, 669, 679, 715, 833, 961, 1017, 1076, 1208, 1273, 1365, 1505, 1683, 1743, 1937, 2021, 2109, 2233, 2534, 2737, 2883, 2993, 3355, 3381, 3474, 3773, 4089, 4225, 4367, 4833, 5047, 5369, 5773, 5908, 6341, 6527, 6721, 6993, 7914, 8085, 8398, 8633, 9402, 9457, 10283, 10945, 11229, 11525, 12493, 12936, 13601, 14433, 15599, 15980, 16377, 16933, 18811, 19159, 20273, 21945, 23618, 24957, 25531, 26129, 28083, 30317, 31993, 34340, 35905, 37023, 40797, 41496, 43733, 47089, 53131, 54282, 55481, 59398, 63875, 67233, 75069, 77308, 84865, 90743, 97461, 109554, 114257, 131054, 137773, 153451, 173049, 184808, 198247, 231845, 278883, 310242, 349441, 399840, 467039, 561118, 702237, 937436, 1407835, 2819034, 
a: 8 b: 288 n: 27, 55, 73, 117, 216, 352, 559, 837, 1081, 2304, 4753, 
a: 8 b: 9800 n: 26, 196, 286, 292, 400, 825, 1016, 1216, 1436, 1450, 1692, 2542, 2875, 2896, 3256, 3667, 4992, 5500, 6042, 6076, 6656, 8611, 9400, 10192, 11086, 13916, 14986, 16121, 16192, 17400, 18761, 23056, 24676, 26500, 32250, 34417, 36856, 39296, 42042, 50692, 53950, 57616, 69161, 78400, 83292, 88796, 106126, 112651, 119992, 161596, 171386, 182400, 217075, 244816, 328042, 347625, 369656, 494500, 660961, 744192, 993886, 1493276, 1992667, 2991450, 5987801, 
a: 15 b: 960 n: 12, 48, 69, 129, 165, 300, 485, 492, 561, 741, 832, 1068, 1200, 1665, 2289, 2508, 3072, 4081, 4485, 5900, 7788, 8449, 10149, 14400, 24321, 31408, 44165, 73932, 222769, 
a: 24 b: 2400 n: 75, 123, 201, 273, 483, 488, 768, 1128, 1593, 1825, 2163, 2451, 3225, 4200, 5376, 6851, 8625, 9513, 11883, 14848, 18408, 28203, 30875, 38001, 57600, 87001, 116403, 175208, 351625, 
a: 35 b: 5040 n: 108, 225, 289, 460, 784, 1197, 1296, 1837, 2881, 3052, 3969, 5068, 5085, 6400, 7453, 7965, 9216, 11340, 13825, 16813, 20304, 23085, 33292, 34561, 41292, 49249, 66304, 78813, 93825, 111340, 125281, 176400, 247969, 479197, 566784, 892108, 1249965, 6259969, 
a: 48 b: 675 n: 161, 256, 481, 656, 1377, 2625, 4816, 8576, 10561, 32400, 97921, 
a: 48 b: 9408 n: 30, 69, 114, 147, 202, 272, 342, 393, 576, 674, 678, 784, 793, 1035, 1122, 1422, 1525, 1577, 1686, 1863, 2058, 2256, 2597, 2842, 3072, 3597, 3774, 4048, 4059, 4346, 4370, 4671, 4998, 5217, 5952, 6322, 6579, 7440, 7890, 8379, 9197, 9361, 9702, 10842, 11223, 11810, 12445, 12496, 13134, 13824, 15822, 16592, 18327, 18906, 19833, 20838, 21805, 22850, 23547, 25872, 27841, 29234, 30528, 31926, 33441, 35967, 37522, 41022, 42189, 46080, 48026, 50128, 56202, 62953, 63797, 65550, 68355, 71394, 79577, 86592, 96726, 100624, 104834, 109395, 116997, 132202, 135711, 147408, 177822, 198099, 205898, 214321, 223446, 269072, 299490, 337513, 360327, 416485, 451584, 542842, 603681, 679730, 907878, 1090397, 1364176, 1820475, 2733074, 5470873, 
a: 49 b: 1681 n: 19, 155, 194, 376, 435, 495, 869, 965, 1519, 1651, 1800, 2450, 2651, 3795, 4065, 4369, 6095, 8401, 8944, 9555, 13019, 17640, 19951, 26885, 40755, 54626, 82369, 165600, 
a: 288 b: 9800 n: 901, 2521, 29601, 43821, 64000, 92512, 132921, 189981, 1408681, 2822400, 5649841, 
a: 675 b: 9408 n: 2236, 6721, 24956, 46721, 84525, 150000, 263516, 460001, 2113441, 6350400,

Matematyka.pl

Zad. 3 z finału XII OMJ

Zad. 3 z finału XII OMJ

Re: Zad. 3 z finału XII OMJ

Re: Zad. 3 z finału XII OMJ

Re: Zad. 3 z finału XII OMJ