Pragnę przypomnieć o zasadach panujących w tego rodzaju tematach. Nie dyskutujemy o tym, kto zrobił ile zadań i o ich stopniu trudności do upłynięcia terminu wysyłania zadań. Przypominam, że poważne naruszenie tych zaleceń skutkować będzie banem.
Przypuśćmy, że liczby \(\displaystyle{ a,b}\) spełniające warunki zadania mają nieujemny iloczyn.
Wtedy kładąc w nierówności \(\displaystyle{ |(ax+by)(ay+bx)|\le x^{2}+y^{2}, \ y:=1, \ x:=1}\)
dostajemy \(\displaystyle{ (a+b)^{2}\le 2}\), ale \(\displaystyle{ (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\ge a^{2}+b^{2}}\), stąd \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}\le 2}\)
Teraz przypuśćmy, że \(\displaystyle{ ab<0}\). Wówczas kładąc w nierówności \(\displaystyle{ |(ax+by)(ay+bx)|\le x^{2}+y^{2}, \ y:=-1, \ x:=1}\)
dostajemy \(\displaystyle{ (a-b)^{2}\le 2}\)
ale \(\displaystyle{ (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\ge a^{2}+b^{2}}\),
stąd \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}\le 2}\)
c.k.d.
3.:
Oczywiście \(\displaystyle{ n=1}\) odpada, dalej niech \(\displaystyle{ n>1}\). Jeśli liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\) nie ma żadnego dzielnika \(\displaystyle{ d}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left[\sqrt{n}, \sqrt[3]{n^{2}}\right]}\), to nie ma też żadnego dzielnika \(\displaystyle{ d}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left[\sqrt[3]{n}, \sqrt{n}\right]}\), bo gdyby miała, to \(\displaystyle{ \frac{n}{d}}\) też byłoby dzielnikiem \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{n}\le \frac{n}{d}\le \sqrt[3]{n^{2}}}\), wbrew założeniu.
Rozważmy najmniejszy dzielnik liczby \(\displaystyle{ n}\) większy niż \(\displaystyle{ \sqrt[3]{n^{2}}}\) (istnieje z zasady minimum, bo \(\displaystyle{ n}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n>\sqrt[3]{n^{2}}}\)), nazwijmy go \(\displaystyle{ k}\).
Gdyby \(\displaystyle{ k}\) była liczbą złożoną, to miałaby dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ q}\) mniejszy niż \(\displaystyle{ \sqrt[3]{n}}\) (bo z przechodniości relacji podzielności taki dzielnik pierwszy dzieliłby też \(\displaystyle{ n}\)), a wówczas \(\displaystyle{ \frac{k}{q}\bigg|n, \ \sqrt[3]{n^{2}}\ge \frac{k}{q}\ge \frac{\sqrt[3]{n^{2}}}{\sqrt[3]{n}}=\sqrt[3]{n}}\), a to prowadzi do sprzeczności.
Zatem \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą pierwszą (zatem jest dzielnikiem pierwszym \(\displaystyle{ n}\) większym niż \(\displaystyle{ \sqrt[3]{n^{2}}}\)), co kończy dowód.
4.:
Zauważmy, że z uwagi na całkowitoliczbowe współrzędne możemy przetłumaczyć te nierówności na \(\displaystyle{ x\ge x'-11, \ y\ge y'-11}\) etc. Przypuśćmy, że w zbiorze zaznaczonych punktów występuje co najmniej \(\displaystyle{ 11}\) różnych pierwszych współrzędnych. Niech najmniejszą z nich będzie \(\displaystyle{ x_{1}}\) i numerujmy pozostałe jako \(\displaystyle{ x_{i}, \ i\ge 2}\). Mamy \(\displaystyle{ x_{i}\ge x_{1}+11(i-1)}\), więc \(\displaystyle{ x_{11}\ge x_{1}+110\ge 111>106}\), co jest absurdem. Zatem występuje co najwyżej \(\displaystyle{ 10}\) różnych wartości pierwszej współrzędnej. W pełni analogicznie uzasadniamy, że w zbiorze zaznaczonych punktów występuje co najwyżej \(\displaystyle{ 10}\) różnych wartości drugiej współrzędnej.
Pozostaje skonstatować, że jeśli zaznaczyliśmy punkty o współrzędnych \(\displaystyle{ (x_{i}, y_{j}), \ 1\le i\le 10, \ 1\le j\le 10}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{i}=1+11(i-1), \ y_{j}=1+11(j-1)}\), to warunki zadania są spełnione. Takich punktów jest wtedy \(\displaystyle{ 10\cdot 10=100}\).
A planimetrii nie umiem, nawet na maturze przeliczałem na sinusach.
A, już widzę, np. punkty \(\displaystyle{ (x_{1}, y_{8}), \ (x_{1}, y_{5})}\) według moich oznaczeń nie spełniają warunków zadania, a skoro sobie mnożę, to je oba liczę. Niestety nad ranem mi się wydawało, że działa. No srogą bzdurę tu wsadziłem, dzięki. Jaka jest odpowiedź, bo szkoda pisać kolejną głupotę?
Premislav, \(\displaystyle{ x> x’-10\implies x\ge x’-9}\).
Co do geometrii: jest prosta. Wystarczy liczyć kąty pamiętając o symetrii X i C + kąt między styczną i cięciwą
Premislav pisze: ↑2 paź 2020, o 10:38A, już widzę, np. punkty \(\displaystyle{ (x_{1}, y_{8}), \ (x_{1}, y_{5})}\) według moich oznaczeń nie spełniają warunków zadania
Chyba jeszcze nie widzisz. Żeby para punktów nie spełniała warunków zadania, jeden z nich musi być dostatecznie daleko "w prawo i w dół" od drugiego.
Tak poza rozwiązaniami, to czy ktoś mógłby powiedzieć jak to jest z ocenami zadań.
Te z pierwszej serii będą już niedługo na moim koncie czy trzeba czekać do końca całego pierwszego etapu?
Jestem początkujący, więc te pytania mogą wydać się banalne, ale:
Czy w zadaniu 1 nie ma nieścisłości, skoro autor napisał warunek np dla \(\displaystyle{ ab<0}\), lecz gdy podstawimy \(\displaystyle{ a=2}\) i \(\displaystyle{ b=7}\), to powyższa nierówność nie jest spełniona?
Czy mógłby ktoś rozpisać swoje rozwiązanie zadania 4, bo jestem strasznie ciekawy jak tam wychodzi \(\displaystyle{ 2020}\)?
Ostatnio zmieniony 5 paź 2020, o 23:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Z jednej strony na planszy da się umieścić \(\displaystyle{ 2020}\) punktów zgodnie z warunkami zadania, na przykład w dziesięciu dolnych wierszach i dziesięciu prawych kolumnach - oznaczmy tak opisany zbiór punktów przez \(\displaystyle{ A}\). Z drugiej strony wykażemy, że punktów nie można zaznaczyć więcej. Rozważmy zatem dowolny zbiór punktów \(\displaystyle{ B}\) spełniający warunki zadania. Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ 2 \le s \le 212}\) rozważmy przekątną \(\displaystyle{ P_s = \{ (x, y) \in \{ 1, \ldots, 106 \}^2 : x+y=s \}}\). Wystarczy wykazać, że na każdej takiej przekątnej jest nie więcej punktów z \(\displaystyle{ B}\) niż z \(\displaystyle{ A}\). Jest to oczywiste dla skrajnych przekątnych \(\displaystyle{ P_2 - P_{11}}\) i \(\displaystyle{ P_{203} - P_{212}}\), bo one w całości zawierają się w \(\displaystyle{ A}\). Z kolei na pozostałych przekątnych może być co najwyżej dziesięć punktów z \(\displaystyle{ B}\), bo w przeciwnym razie nietrudno zauważyć, że znalazłyby się dwa punkty przeczące warunkom. W \(\displaystyle{ A}\) zaś na takiej przekątnej punktów jest dokładnie dziesięć - co kończy dowód.
Dragomier pisze: ↑5 paź 2020, o 19:54
Jestem początkujący, więc te pytania mogą wydać się banalne, ale:
Czy w zadaniu 1 nie ma nieścisłości, skoro autor napisał warunek np dla \(\displaystyle{ ab<0}\), lecz gdy podstawimy \(\displaystyle{ a=2}\) i \(\displaystyle{ b=7}\), to powyższa nierówność nie jest spełniona?
Wstrzymywałbym się od podstawiania za \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) konkretnych liczb, bo tak naprawdę nic o nich nie wiemy. Jeśli podstawisz za \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) jedynkę (a można to zrobić, bo w założeniu są one dowolnymi liczbami rzeczywistymi), nierówność nie zachodziłaby dla \(\displaystyle{ (a, b) = (2, 7)}\). Sama teza sugeruje, że mogą one przyjąć różne wartości (nierówność). Założenie o znaku ich iloczynu jest dużo ogólniejsze i pozwala objąć wszystkie możliwe wartości tych dwóch liczb: albo iloczyn jest nieujemny, albo ujemny. Zauważ, że dla nierówności z tezy liczy się tylko ich wartość bezwzględna.
Dragomier pisze: ↑5 paź 2020, o 19:54Czy w zadaniu 1 nie ma nieścisłości, skoro autor napisał warunek np dla \(\displaystyle{ ab<0}\), lecz gdy podstawimy \(\displaystyle{ a=2}\) i \(\displaystyle{ b=7}\), to powyższa nierówność nie jest spełniona?
A czy zauważyłeś, że Premislav rozpatrywał dwa przypadki?