Dodanie stronami i rozważenie różnych przypadków to sedno tego zadania. Ale pokażę dwa podejścia do kolejności rozumowania w tym zadaniu. Oczywiście dostajemy
\(\displaystyle{ a_i=-a_{i+3}}\).
Uważam, że najłatwiej myśleć o tym zadaniu, jeśli umieścimy wartości
\(\displaystyle{ a_1, \ldots, a_n}\) w wierzchołkach
\(\displaystyle{ n}\)-kąta foremnego. Będziemy rozpatrywać zależności między poszczególnymi
\(\displaystyle{ a_i}\), pisząc ich wartości na tym okręgu (opisanym), zaczynając od
\(\displaystyle{ a_1=x}\) i kierując strzałkę z
\(\displaystyle{ a_i}\) do
\(\displaystyle{ a_{i+3}}\). Widać, że mamy albo 1 albo 3 cykle (w zależności od
\(\displaystyle{ n \ mod \ 3}\)) i wszystkie cykle parzyste albo wszystkie cykle nieparzyste (w zależności od
\(\displaystyle{ n \ mod \ 2}\)). Stąd częsty pomysł na rozpatrywanie przypadków uwzględniając
\(\displaystyle{ n \ mod \ 6}\).
Można było robić delikatne usprawnienia, aby ograniczyć pałę na
\(\displaystyle{ 6}\) przypadkach, czyli zgrupowanie
\(\displaystyle{ 3k+1}\) i
\(\displaystyle{ 3k+2}\) i/lub zgrupowanie razem
\(\displaystyle{ 2m}\) i razem
\(\displaystyle{ 2m+1}\).
Jedna droga rozumowania prowadziła od otrzymania
\(\displaystyle{ a_i=-a_{i+3}}\), poprzez sprawdzenie różnych przypadków, aż do sprawdzenia. Nie będę się tym zajmował.
Skupię się na innej drodze: mając
\(\displaystyle{ a_i=-a_{i+3}}\), możemy to od razu wstawić do początkowego układu, dostając nierówności
\(\displaystyle{ a_{i+1}^2+a_{i+2}^2-2a_{i}^2 \le 0}\). Niech
\(\displaystyle{ a_{i}^2}\) będzie MIN z tych wszystkich kwadratów. Wtedy otrzymujemy natychmiast, że
\(\displaystyle{ a_{i+1}^2}\) i
\(\displaystyle{ a_{i+2}^2}\) też są MIN, stąd szybko równość wszystkich kwadratów. Podoba mi się to (pomysł nie był mój), bo zanim w ogóle wejdziemy w jakieś przypadki, otrzymujemy że nasz układ jest RÓWNOWAŻNY znalezieniu
\(\displaystyle{ n}\)-elementowych ciągów, dla których
\(\displaystyle{ a_i=-a_{i+3}}\) oraz
\(\displaystyle{ a_i^2=const}\). Fajnie, że możemy zapomnieć o układzie nierówności.
Dalej najfajniejszy nieoczywisty (dla mnie) trik, jaki zobaczyłem, dotyczy „wyzerowania ciągu” dla
\(\displaystyle{ n}\) nieparzystych. Dodając stronami
\(\displaystyle{ a_i=-a_{i+3}}\) dostajemy
\(\displaystyle{ S=-S}\), czyli
\(\displaystyle{ S=0}\) (suma wszystkich elementów). Gdyby wtedy
\(\displaystyle{ |a_i| \ne 0}\), to dla
\(\displaystyle{ n}\) nieparzystego w sumie
\(\displaystyle{ S}\) jest nierównowaga plusów i minusów – więc nie byłoby
\(\displaystyle{ S=0}\).
Trójka
\(\displaystyle{ (a_1;a_2;a_3)}\) generuje cały ciąg. Oczywiście rozwiązaniami są ciągi:
a) dla
\(\displaystyle{ n}\) nieparzystych – generowane przez
\(\displaystyle{ (0;0;0)}\),
b) dla
\(\displaystyle{ n}\) parzystych niepodzielnych przez
\(\displaystyle{ 3}\) – generowane przez
\(\displaystyle{ (x;-x;x)}\),
c) dla
\(\displaystyle{ n}\) podzielnych przez
\(\displaystyle{ 6}\) – generowane przez
\(\displaystyle{ (x;±x;±x)}\) – są
\(\displaystyle{ 4}\) ciągi dla
\(\displaystyle{ x \ne 0}\).
Na grupie ZADANSY na FB pojawił się jeszcze pomysł, że łącząc
\(\displaystyle{ a_{i+3}=-a_i}\) z faktem, że w każdej nierówności musi zajść równość, dostajemy
\(\displaystyle{ a_{i+1}^2+a_{i+2}^2-2a_{i}^2 = 0}\), czyli
\(\displaystyle{ a_{i}^2+a_{i+1}^2+a_{i+2}^2=3a_{i}^2}\). Ale że też
\(\displaystyle{ a_{i+1}^2+a_{i+2}^2+a_{i+3}^2=3a_{i+1}^2}\) oraz
\(\displaystyle{ a_i^2=a_{i+3}^2}\), to
\(\displaystyle{ 3a_i^2=3a_{i+1}^2}\). Stąd już łatwo dostajemy, że wszystkie wyrazy tego ciągu mają te same kwadraty (innymi słowy, mają te same moduły).
P.S. Zadanie to można skojarzyć z zadaniem 6. z II etapu 60. OM:
https://om.mimuw.edu.pl/static/app_main/problems/om60_2.pdf
- startowałem i skojarzyłem
. Na stronie OM jest do tego wzorcówka, która mogła ułatwić redakcję tegorocznego zadania:
https://om.mimuw.edu.pl/static/app_main/problems/om60_2r.pdf
Ładny obrazek:
https://zapodaj.net/images/cc91541e17916.png