Błąd w 5. zadaniu z 2. etapu LXXI OMa

Dla wtajemniczonych;) Największa impreza dla matematyków poniżej studiów, czyli Olimpiada Matematyczna oraz Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów.
timoteo2137
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 28 mar 2020, o 20:13
Płeć: Mężczyzna
wiek: 17

Błąd w 5. zadaniu z 2. etapu LXXI OMa

Post autor: timoteo2137 »

Cześć
Mam takie pytanie odnośnie zadania5. z 2. etapu tegorocznego OMa.
Treść znajduje się tutaj:

Kod: Zaznacz cały

https://om.mimuw.edu.pl/static/app_main/problems/om71_2.pdf


I brzmi:
Dana jest liczba pierwsza \(\displaystyle{ p > 2}\). Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie zbiorem \(\displaystyle{ p + 1}\) liczb całkowitych. Wykazać, że istnieją parami różne liczby \(\displaystyle{ a _{1}, a _{2}, . . . , a _{p-1}}\), należące do zbioru \(\displaystyle{ S}\), dla których liczba
\(\displaystyle{ a_{1} + 2 \cdot a2 + 3 \cdot a_{3} + . . . + (p − 1) \cdot a_{p−1} }\)
jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\).

Moje pytanie odnośnie tego zadania brzmi:
Czy ono na pewno jest poprawnie sformułowane? Bo przecież (według mnie przynajmniej, więc mogę się mylić) elementy zbioru \(\displaystyle{ S}\) nie muszą być wszystkie parami różne. W szczególnym przypadku nawet nie można wybrać więc \(\displaystyle{ p-1}\) parami różnych liczb, a co dopiero spełniających jeszcze do tego jakiś warunek. Dla przykładu liczba \(\displaystyle{ p=3}\) i zbiór \(\displaystyle{ \{1,1,1,2\}}\) nie spełnia warunków zadania.

Z góry dzięki za odpowiedzi.
Ostatnio zmieniony 28 mar 2020, o 20:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Błąd w 5. zadaniu z 2. etapu LXXI OMa

Post autor: a4karo »

`\{1,1,1,2\}=\{1,2\}`, więc ten zbiór nie ma czterech elementów
Ostatnio zmieniony 28 mar 2020, o 20:49 przez a4karo, łącznie zmieniany 1 raz.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Błąd w 5. zadaniu z 2. etapu LXXI OMa

Post autor: Jan Kraszewski »

timoteo2137 pisze: 28 mar 2020, o 20:42Bo przecież (według mnie przynajmniej, więc mogę się mylić) elementy zbioru S nie muszą być wszystkie parami różne.
No to mylisz się. Elementy zbioru z samej natury pojęcia zbioru są różne.
timoteo2137 pisze: 28 mar 2020, o 20:42Dla przykładu liczba \(\displaystyle{ p=3}\) i zbiór \(\displaystyle{ \{1,1,1,2\}}\) nie spełnia warunków zadania.
Nie wiem, czy jesteś świadom, że \(\displaystyle{ \{1,1,1,2\}=\{1,2\}.}\)

JK
timoteo2137
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 28 mar 2020, o 20:13
Płeć: Mężczyzna
wiek: 17

Re: Błąd w 5. zadaniu z 2. etapu LXXI OMa

Post autor: timoteo2137 »

Dodano po 1 minucie 16 sekundach:
Jan Kraszewski pisze: 28 mar 2020, o 20:49 Elementy zbioru z samej natury pojęcia zbioru są różne.
A dlaczego z samej natury pojęcia są różne? Przecież pojęcie zbioru jest aksjomatem i się go nie definiuje.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Błąd w 5. zadaniu z 2. etapu LXXI OMa

Post autor: Jan Kraszewski »

Pojęcie zbioru nie jest aksjomatem, bo aksjomaty to nie pojęcia.

Cantor definiując pojęcie zbioru (która to definicja leży u podstaw Naiwnej Teorii Mnogości) określił, że jest to kolekcja dobrze zdefiniowanych, rozróżnialnych obiektów. Jeżeli chcesz bardziej formalnie (bo przy bardziej formalnym podejściu zbiór istotnie jest pojęciem pierwotnym), to załatwia to Zasada Ekstensjonalności.

JK
Awatar użytkownika
niunix98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 17 razy

Re: Błąd w 5. zadaniu z 2. etapu LXXI OMa

Post autor: niunix98 »

timoteo2137 pisze: 28 mar 2020, o 20:42Dla przykładu liczba \(\displaystyle{ p=3}\) i zbiór \(\displaystyle{ \{1,1,1,2\}}\) nie spełnia warunków zadania.
Zbiór ten spełnia warunki zadania, wystarczy wziąć \(\displaystyle{ a_1 = 1}\) oraz \(\displaystyle{ a_2 = 1}\).

Dodano po 3 minutach 23 sekundach:
Oczywiście rozumiem, że zbiór \(\displaystyle{ \{1,1,1,2 \}}\) oznacza zbiór \(\displaystyle{ S}\) zawierający trzy liczby dające resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) oraz jedną taką, która daje resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) (na przykład zbiór \(\displaystyle{ \{ 1,4,7,2 \} }\)).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Błąd w 5. zadaniu z 2. etapu LXXI OMa

Post autor: Jan Kraszewski »

niunix98 pisze: 14 kwie 2020, o 15:35Zbiór ten spełnia warunki zadania, wystarczy wziąć \(\displaystyle{ a_1 = 1}\) oraz \(\displaystyle{ a_2 = 1}\).
A czytałeś uważnie treść zadania?
timoteo2137 pisze: 28 mar 2020, o 20:42Wykazać, że istnieją parami różne liczby \(\displaystyle{ a _{1}, a _{2}, . . . , a _{p-1}}\), należące do zbioru \(\displaystyle{ S}\),
niunix98 pisze: 14 kwie 2020, o 15:35Oczywiście rozumiem, że zbiór \(\displaystyle{ \{1,1,1,2 \}}\) oznacza zbiór \(\displaystyle{ S}\) zawierający trzy liczby dające resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) oraz jedną taką, która daje resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) (na przykład zbiór \(\displaystyle{ \{ 1,4,7,2 \} }\)).
:?: :?:

Zbiór liczb to zbiór liczb. Jego elementami ma być \(\displaystyle{ p+1}\) różnych liczb całkowitych i nie możesz zastępować tych liczb ich resztami. Więc powyższe sformułowanie niestety nie ma sensu.

JK
Awatar użytkownika
niunix98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 17 razy

Re: Błąd w 5. zadaniu z 2. etapu LXXI OMa

Post autor: niunix98 »

Faktycznie. Po prostu myślałem, że gdzie indziej leży problem timotea.
ODPOWIEDZ