Matematyka.pl

Znajdź wszystkie liczby naturalne podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\) i mające pięć dzielników dodatnich.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Pomyśleć... Skoro ma być podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\), to dwa dzielniki już masz: \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 5}\). Pomyśl o rozkładzie na czynniki pierwsze: na razie masz w nim tylko pięć, jeżeli dodasz do rozkładu liczbę pierwszą różną od pięć, to dostaniesz dwa nowe dzielniki, jeśli pięć, to jeden nowy dzielnik. Możesz dodawać tylko piątki, wtedy dostajesz \(\displaystyle{ 5^4=625.}\) Jeśli dodasz piątkę, a potem liczbę różną od pięć, to dostaniesz już sześć dzielników. Jak dodasz od razu liczbę różną od pięć, to dostaniesz cztery dzielniki. A co będzie, jak dodasz dwie liczby różne od pięć (te same albo różne)?

JK

No ok, ale jak to jakoś ładnie uzasadnić systemowo?
Jeśli do rozkładu na czynniki dodam jakąś jedną liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\) różną od \(\displaystyle{ 5}\) to dostanę \(\displaystyle{ 4}\) dzielniki: \(\displaystyle{ 1,5,p,5\cdot p}\) za mało. Jeśli jeszcze dodam jakąś liczbę pierwszą \(\displaystyle{ r}\) różną od \(\displaystyle{ p}\) i różną od \(\displaystyle{ 5}\), to dostanę \(\displaystyle{ 8}\) dzielników: \(\displaystyle{ 1,p,r,5,p\cdot r,p\cdot 5,r\cdot 5,p\cdot r\cdot 5}\), za dużo. Jeśli do rozkładu dodam tylko liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\) i jeszcze jedną \(\displaystyle{ 5}\), to dostanę \(\displaystyle{ 6}\) dzielników: \(\displaystyle{ 1,p,5,p\cdot 5,5^2,p\cdot 5^2}\) za dużo. Jeśli do rozkładu dodam dwie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) to dostanę \(\displaystyle{ 6}\) dzielników: \(\displaystyle{ 1,p,5,p^2,p\cdot 5,p^2\cdot 5}\). Zatem w rozkładzie tej liczby nie może się pojawić liczba pierwsza różna od \(\displaystyle{ 5}\). Czyli musi być to potęga liczby \(\displaystyle{ 5}\). \(\displaystyle{ 125}\) ma \(\displaystyle{ 4}\) dzielniki więc za mało, więc musi to być liczba \(\displaystyle{ 625}\), która ma dokładnie \(\displaystyle{ 5}\) dzielników naturalnych i jest to jedyna taka liczba. Czy może być takie uzasadnienie?

Może. I nie potrzebujesz do tego żadnej zaawansowanej matematyki.

Choć oczywiście od razu wynika to ze wzoru jawnego na liczbę dzielników - skoro liczba dzielników jest liczbą pierwszą, to w rozkładzie jest tylko jeden czynnik.

JK