Matematyka.pl

Wyznacz wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a, b}\), których iloczyn \(\displaystyle{ ab}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 175}\), a suma \(\displaystyle{ a + b}\) równa się \(\displaystyle{ 175}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Wyciągnąłeś jakieś wnioski z założeń?

JK

No wiem, że \(\displaystyle{ b=175-a}\), czyli musi być \(\displaystyle{ a(175-a)=175k}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest naturalne. Czyli \(\displaystyle{ a(175-a)=5\cdot 5\cdot 7\cdot k}\) czyli \(\displaystyle{ 175a-a^2=5\cdot 5\cdot 7\cdot k}\), ale \(\displaystyle{ 175a}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 175}\), więc też \(\displaystyle{ a^2}\) musi być podzielne przez \(\displaystyle{ 175}\). Czyli \(\displaystyle{ a^2=5\cdot 5\cdot 7\cdot p}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) w rozkładzie na czynniki musi mieć nieparzystą liczbę \(\displaystyle{ 7}\), parzystą liczbę \(\displaystyle{ 5}\) i ewentualnie parzystą liczbę innych liczb pierwszych. Przy tych warunkach \(\displaystyle{ a}\) też musi być mniejsze niż \(\displaystyle{ 175}\), bo \(\displaystyle{ b>0}\).Z tego wynika, że \(\displaystyle{ p}\) musi być co najmniej równe \(\displaystyle{ 7}\). I są takie możliwości \(\displaystyle{ a=5\cdot 7=35<175}\), \(\displaystyle{ a=5\cdot 7\cdot 2=70<175}\), \(\displaystyle{ a=5\cdot 7\cdot 3=105<175}\) i \(\displaystyle{ a=5\cdot 7\cdot 2\cdot 2=140<175}\). Czyli ostatecznie mamy pary liczb \(\displaystyle{ (35,140),(70,105),(105,70),(140,35)}\). Czy tak jest dobrze?

Jak dla mnie dobrze.

JK