Matematyka.pl

Witajcie, mam problem z zadaniem, jak udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ 1945^5-1939^5}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\)?

\(\displaystyle{ a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)}\)

JK

Można też zobaczyć, że

wtedy reszty z dzielenia \(\displaystyle{ 1945^5}\) oraz \(\displaystyle{ 1939^5}\) to \(\displaystyle{ 1}\). Zatem ich różnica jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\).

Janusz Tracz pisze: ↑29 lis 2022, o 16:07 Można też zobaczyć, że

\(\displaystyle{ 1945 = 324 \times 6 + 1}\)

\(\displaystyle{ 1939 = 323 \times 6 + 1}\)

wtedy reszty z dzielenia \(\displaystyle{ 1945^5}\) oraz \(\displaystyle{ 1939^5}\) to \(\displaystyle{ 1}\). Zatem ich różnica jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\).

Czyli jest taka zasada że jak obie liczby mają być podzielne przez te samą liczbę i z tego dzielenia powstaje dla kazdej z nich identyczna reszta, to znaczy ze sa podzielne?

zabuuuuujca123 pisze: ↑29 lis 2022, o 18:01 Czyli jest taka zasada że jak obie liczby mają być podzielne przez te samą liczbę i z tego dzielenia powstaje dla kazdej z nich identyczna reszta, to znaczy ze sa podzielne?

Źle to wypowiadasz. Jak już szukasz zasady to brzmiałaby tak:


Prościej jest rozumieć tę zasadę, a właściwie wiedzieć skąd ona winnika aniżeli ją pamiętać. Bowiem jeśli liczby \(\displaystyle{ x,y\in\NN}\) dają taką samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ m}\) to liczby te są postaci:

dla pewnych \(\displaystyle{ k_1,k_2\in \NN}\) i pewnego (w tym przypadku tego samego) \(\displaystyle{ r\in \left\{ 0,1,...,m-1\right\} }\) czyli reszty (ten fakt to wręcz definicja reszty tu siedzi twierdzenie ze szkoły podstawowej Twierdzenie o dzieleniu z resztą). Zatem


Co dowodzi podzielności \(\displaystyle{ m|(x-y)}\).

PS w moim rozumowaniu jest jeszcze jeden krok pośredni. Zauważ, że ja stwierdziłem, iż to piąte potęgi dają resztę \(\displaystyle{ 1}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 6}\). Tu jest ukryte pewne rozumowanie (formalnie tu siedzi Dwumian Newtona lub fakty o arytmetyce modulo ale mniejsza z tym) mianowicie wyjaśnię teraz dlaczego \(\displaystyle{ 1945^5}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 6}\) (podobnie można zrobić z \(\displaystyle{ 1939^5}\)). Więc zauważyłem, że \(\displaystyle{ 1945 = 324 \times 6 + 1}\), a więc


Zauważ teraz, że mnożąc nawisy \(\displaystyle{ \left( 324 \cdot 6 + 1\right) \times \left( 324 \cdot 6 + 1\right)}\) zawsze dostajesz wielokrotności \(\displaystyle{ 6}\) z wyjątkiem momentu, gdy mnożysz \(\displaystyle{ 1 \times 1}\). Ogólnie


Zatem robią to pięć razy mamy

Więc mamy ostatecznie

PPS ta metoda wydaje się wydumana i zbyt skomplikowana jak na takie zadanie. Ale zapewniam, że tak nie jest. Uważam, że pod pewnymi względami może być lepsza od metody JK (której nie krytykuje bo jak na takie zadanko w zupełności starczy). Przykładowo widać, że piąte potęgi nie miały tu żadnego znaczenia innymi słowy udowodniliśmy za darmo, że dla każdego \(\displaystyle{ \left( n\in \NN\right) 6| (1945^n - 1939^n)}\) (oczywiście metoda JK też da się zastosować w ogólnym przypadku, ale trzeba znać wzór). Poza tym to się łatwo uogólnia jeszcze bardziej (i dostaje się arytmetykę modulo).