Udowodnij, że dana liczba jest podzielna przez 6.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 4 lis 2022, o 19:38
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 4 razy
Udowodnij, że dana liczba jest podzielna przez 6.
Witajcie, mam problem z zadaniem, jak udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ 1945^5-1939^5}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\)?
Ostatnio zmieniony 29 lis 2022, o 12:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
- Administrator
- Posty: 34276
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Udowodnij, że dana liczba jest podzielna przez 6.
\(\displaystyle{ a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)}\)
JK
JK
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Udowodnij, że dana liczba jest podzielna przez 6.
Można też zobaczyć, że
wtedy reszty z dzielenia \(\displaystyle{ 1945^5}\) oraz \(\displaystyle{ 1939^5}\) to \(\displaystyle{ 1}\). Zatem ich różnica jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\).
\(\displaystyle{ 1945 = 324 \times 6 + 1}\)
\(\displaystyle{ 1939 = 323 \times 6 + 1}\)
wtedy reszty z dzielenia \(\displaystyle{ 1945^5}\) oraz \(\displaystyle{ 1939^5}\) to \(\displaystyle{ 1}\). Zatem ich różnica jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 4 lis 2022, o 19:38
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 4 razy
Re: Udowodnij, że dana liczba jest podzielna przez 6.
Czyli jest taka zasada że jak obie liczby mają być podzielne przez te samą liczbę i z tego dzielenia powstaje dla kazdej z nich identyczna reszta, to znaczy ze sa podzielne?Janusz Tracz pisze: ↑29 lis 2022, o 16:07 Można też zobaczyć, że
\(\displaystyle{ 1945 = 324 \times 6 + 1}\)\(\displaystyle{ 1939 = 323 \times 6 + 1}\)
wtedy reszty z dzielenia \(\displaystyle{ 1945^5}\) oraz \(\displaystyle{ 1939^5}\) to \(\displaystyle{ 1}\). Zatem ich różnica jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\).
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Udowodnij, że dana liczba jest podzielna przez 6.
Źle to wypowiadasz. Jak już szukasz zasady to brzmiałaby tak:zabuuuuujca123 pisze: ↑29 lis 2022, o 18:01 Czyli jest taka zasada że jak obie liczby mają być podzielne przez te samą liczbę i z tego dzielenia powstaje dla kazdej z nich identyczna reszta, to znaczy ze sa podzielne?
Jeśli dwie dowolne liczby \(\displaystyle{ x,y\in\NN}\) dają taką samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ m\in \NN}\) to ich różnica dzieli się przez \(\displaystyle{ m}\).
Prościej jest rozumieć tę zasadę, a właściwie wiedzieć skąd ona winnika aniżeli ją pamiętać. Bowiem jeśli liczby \(\displaystyle{ x,y\in\NN}\) dają taką samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ m}\) to liczby te są postaci:
\(\displaystyle{ x=k_1m+r \qquad \qquad \& \qquad \qquad y=k_2m+r}\)
dla pewnych \(\displaystyle{ k_1,k_2\in \NN}\) i pewnego (w tym przypadku tego samego) \(\displaystyle{ r\in \left\{ 0,1,...,m-1\right\} }\) czyli reszty (ten fakt to wręcz definicja reszty tu siedzi twierdzenie ze szkoły podstawowej Twierdzenie o dzieleniu z resztą). Zatem
\(\displaystyle{ x-y=(k_1-k_2)\red{m}.}\)
Co dowodzi podzielności \(\displaystyle{ m|(x-y)}\).
PS w moim rozumowaniu jest jeszcze jeden krok pośredni. Zauważ, że ja stwierdziłem, iż to piąte potęgi dają resztę \(\displaystyle{ 1}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 6}\). Tu jest ukryte pewne rozumowanie (formalnie tu siedzi Dwumian Newtona lub fakty o arytmetyce modulo ale mniejsza z tym) mianowicie wyjaśnię teraz dlaczego \(\displaystyle{ 1945^5}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 6}\) (podobnie można zrobić z \(\displaystyle{ 1939^5}\)). Więc zauważyłem, że \(\displaystyle{ 1945 = 324 \times 6 + 1}\), a więc
\(\displaystyle{ 1945^5 = \left( 324 \cdot 6 + 1\right)^5. }\)
Zauważ teraz, że mnożąc nawisy \(\displaystyle{ \left( 324 \cdot 6 + 1\right) \times \left( 324 \cdot 6 + 1\right)}\) zawsze dostajesz wielokrotności \(\displaystyle{ 6}\) z wyjątkiem momentu, gdy mnożysz \(\displaystyle{ 1 \times 1}\). Ogólnie
\(\displaystyle{ (6\xi+1) \times (6\eta+1)=6\xi \times 6 \eta+ 6\xi + 6\eta + \red{1 \times 1}.}\)
Zatem robią to pięć razy mamy
\(\displaystyle{ 1945^5 = \left( 324 \cdot 6 + 1\right)^5=6 \times \text{coś } +\red{1}. }\)
Więc mamy ostatecznie \(\displaystyle{ 1945^5 - 1939^5= 6 \times \text{coś } +\red{1} - 6 \times \text{zapewne coś innego} -\red{1} = 6 \times \text{jeszcze coś innego}. }\)
PPS ta metoda wydaje się wydumana i zbyt skomplikowana jak na takie zadanie. Ale zapewniam, że tak nie jest. Uważam, że pod pewnymi względami może być lepsza od metody JK (której nie krytykuje bo jak na takie zadanko w zupełności starczy). Przykładowo widać, że piąte potęgi nie miały tu żadnego znaczenia innymi słowy udowodniliśmy za darmo, że dla każdego \(\displaystyle{ \left( n\in \NN\right) 6| (1945^n - 1939^n)}\) (oczywiście metoda JK też da się zastosować w ogólnym przypadku, ale trzeba znać wzór). Poza tym to się łatwo uogólnia jeszcze bardziej (i dostaje się arytmetykę modulo).
Ostatnio zmieniony 29 lis 2022, o 19:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.