Matematyka.pl

Witam. W tym roku na maturze rozszerzonej było takie zadanko:
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ k}\) i dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ m}\) liczba \(\displaystyle{ k^3m-m^3k}\)
jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\).

Oczywiście zamiast rozwiązywać na przypadki, to stwierdziłem że zrobię te zadanie z indukcji matematycznej, bo co mi tam.
Zrobiłem je następująco:
1. sprawdziłem czy ta liczba dla \(\displaystyle{ k=1}\) i dowolnego całkowitego m będzie podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\)
\(\displaystyle{ m-m^3=m(m+1)(m-1)}\), a wiec dzieli się przez \(\displaystyle{ 6}\)
2. Założyłem że dla jakiegoś \(\displaystyle{ k}\) i dowolnego \(\displaystyle{ m}\) liczba \(\displaystyle{ k^3m-km^3}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\)
3. Sprawdziłem, czy wtedy te wyrażenie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\), jeśli \(\displaystyle{ k}\) zastąpimy \(\displaystyle{ k+1}\), a \(\displaystyle{ m}\) będzie tak samo jak wcześniej-dowolne, całkowite.
\(\displaystyle{ (k+1)^3m-(k+1)m^3=k^3m+m+3k^2m+3km-km^3-m^3=k^3m-km^3+3mk(k+1)-(m+1)m(m-1)}\),
czyli korzystając z założenia indukcyjnego jest to suma dwóch wyrażeń \(\displaystyle{ k^3m-km^3}\) i \(\displaystyle{ 3mk(k+1)-(m+1)m(m-1)}\) podzielnych przez \(\displaystyle{ 6}\), a wiec te wyrażenie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\). Oczywiście uzasadniałem słownie to co robię i skąd takie wnioski. Komisja egzaminacyjna stwierdziła jednak że te rozwiązanie zasługuje na 0pkt. Nie pamiętam, czy zrobiłem na maturze te zadanie w dokładnie ten sam sposób, ale idea była raczej taka sama.
Te rozumowanie jest poprawne?
Wie ktoś może jak ocenia się rozwiązania których nie ma w kluczu?

Indukcją wykazałeś tylko prawdziwość tezy dla liczb naturalnych a nie całkowitych.

85213 pisze: Wie ktoś może jak ocenia się rozwiązania których nie ma w kluczu?

Jeśli rozwiązanie jest poprawne to niezależnie od tego jak bardzo by nie wykraczało poza program, jest zawsze oceniane pozytywnie (czyli max pkt). Jeśli otrzymałeś 0 pkt to albo źle przeprowadziłeś indukcję, albo po prostu ponaciągałeś coś w dowodzie (jakieś nieuzasadnione założenia bądź dowodzenie czegoś innego niż tezy) co z reguły wyceniane jest jako 0.

Błąd którego nie mogłem zauważyć to zbiór na którym operowałem. Ubzdurałem sobie w głowie że chodzi o naturalne. Chociaż można powiedzieć, że pół zadania zrobiłem, wiec dałbym sobie 1 pkt. No nic, szkoda 3 punktów, ale jakoś będę musiał z tym żyć. Dzięki za odpowiedzi.

Trzeba było odwoływać się...

JK

Chociaż można powiedzieć, że pół zadania zrobiłem, wiec dałbym sobie 1 pkt

Nie powołowe tylko \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) (w senie gęstości zbiorów a nie mnogościowym) bo masz pary \(\displaystyle{ \left( m,k\right)}\) i cztery możliwości znaków takie jak w ćwiartkach układu. Sprawdziłeś co się dzieje gdy \(\displaystyle{ m,k>0}\) teraz sprawdzenie \(\displaystyle{ m,k<0}\) nie wyczerpuje możliwości. Są jeszcze dwa mieszane przypadki (można je zwinąć w jeden z symetrii ale trzeba to napisać) gdy \(\displaystyle{ m>0, \ k<0}\)

Indukcyjne rozumowanie można łatwo naprawić. Jeśli pokażesz że istotnie dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m,k}\) wyrażanie \(\displaystyle{ k^3m-m^3k}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 6}\) to wyrażanie to nie zmieni się gdy \(\displaystyle{ \left( m,k\right) \rightarrow \left( -m,-k\right)}\) więc gdy \(\displaystyle{ m,k}\) są całkowite i ujemne jednocześnie to ów wyrżnie też dzieli się przez \(\displaystyle{ 6}\). Teraz przypadek mieszany gdy jedna zmienna jest ujemna. Wystarczy zauważyć że można wyciągnąć minus i zostaje wyrażanie o którym wiemy że jest podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\). No i \(\displaystyle{ m=k=0}\) oczywiście, to sprawdzamy ręcznie i w sposób oczywisty wychodzi.

Trzeba było odwoływać się...

Odwoływać od czego? Od decyzji egzaminatora? No w sumie możesz spróbować o ile to jeszcze możliwe. Osobiście trudno mi powiedzieć na ile powinni wypunktować Ci to zadanie ale na coś zasłużyłeś bo coś pokazałeś. Przyjęcie złej dziedziny na jakiej pracujesz nie było błędem obliczeniowym a raczej to było nieuwaga lub nieznajomością zbiorów.

PS. To liczenie w jakiej części zadanie zostało zrobione poprawnie to oczywiście żart. Ilość poprawności zależy mocno o kryteriów jaki się przyjmuje do liczenia.

Janusz Tracz pisze: No w sumie możesz spróbować o ile to jeszcze możliwe.

Wyniki poznali w nocy z poniedziałku na wtorek to w środę nie może być za późno. Ma na to pół roku.

Janusz Tracz pisze:Odwoływać od czego? Od decyzji egzaminatora?

Tak. Ten sposób rozwiązania jest zupełnie poza kluczem (choć istotne są też fragmenty, które 85213 zbył w poście: "Oczywiście uzasadniałem słownie to co robię i skąd takie wnioski." - od tego, co dokładnie napisał mogło dużo zależeć), a dodatkowo na pewno nie jest w pełni poprawne, co mogło w sumie skutkować większą uznaniowością przy ocenianiu przez egzaminatora. I dlatego warto się odwołać (formalnie - o ile dobrze pamiętam - trzeba wystąpić o wgląd do pracy, a po wglądnięciu można się odwołać od konkretnych decyzji egzaminatora).

JK

Jan Kraszewski pisze: Tak. Ten sposób rozwiązania jest zupełnie poza kluczem (choć istotne są też fragmenty, które 85213 zbył w poście: "Oczywiście uzasadniałem słownie to co robię i skąd takie wnioski." - od tego, co dokładnie napisał mogło dużo zależeć)

Niestety nie pamiętam co dokładnie pisałem jako komentarz, więc trudno mi się do tego odnieść, ale wydaje mi się że uzasadniłem to co powinienem. Podzieliłem zadanie na podpunkty, w każdym podpunkcie krótki komentarz co będę w nim robił i oczywiście uzasadnienia czemu wyrażenie jest podzielne przez 6.
Powinienem z obecnym wynikiem dostać się na coś sensownego, więc raczej nie będę się bić o ten jeden punkt. Może gdyby dało się po prostu złożyć wniosek o ponowne sprawdzenie zadania, bo jechanie 400 km, żeby zobaczyć swoją prace nie wydaje mi się dobrym rozwiązaniem.

85213 pisze:Może gdyby dało się po prostu złożyć wniosek o ponowne sprawdzenie zadania, bo jechanie 400 km, żeby zobaczyć swoją prace nie wydaje mi się dobrym rozwiązaniem.

Kiedyś nie dało się zrobić tego zdalnie - to wiele osób skutecznie zniechęcało do odwołań. I wydaje mi się, że nie zmieniło się to.

JK

Kiedyś nie było możliwości odwołania się od wyniku matury