Podzielność przez 4
Podzielność przez 4
Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ c}\) są dowolnymi liczbami nieparzystymi, to co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ ab-1, bc-1,ca-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\). Proszę o pomoc w rozwiązaniu!
Ostatnio zmieniony 19 cze 2018, o 02:57 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Podzielność przez 4
Skoro liczby \(\displaystyle{ a, b, c}\) są nieparzyste, to muszą być postaci \(\displaystyle{ 4k_{i} \pm 1}\) dla \(\displaystyle{ i = 1, 2, 3}\) . W takim wypadku istnieją dwie dające tą samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\) . Niech to będą liczby \(\displaystyle{ a, b}\) . Pokaż, że wtedy \(\displaystyle{ 4 | ab - 1}\) .
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4106
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 82 razy
- Pomógł: 1410 razy
Podzielność przez 4
Niech
\(\displaystyle{ a=2n+1}\)
\(\displaystyle{ b=2k+1}\)
\(\displaystyle{ c=2p+1}\)
wtedy
\(\displaystyle{ ab-1=4nk+2(n+k)}\)
\(\displaystyle{ bc-1=4kp+2(k+p)}\)
\(\displaystyle{ ca-1=4np+2(n+p)}\)
Zauważ że wśród liczb \(\displaystyle{ n+k,\ k+p,\ n+p}\)
zawsze znajdzie się parzysta bo jeśli 2 z \(\displaystyle{ (n,k,p)}\) były by nieparzyste to ich suma była by parzysta jeśli jedna była by nieparzysta to suma 2 parzystach da parzystą. Tak więc zawsze znajdzie się taka liczba parzysta więc dla ustalania uwagi niech będzie to \(\displaystyle{ n+k}\) co zapiszemy \(\displaystyle{ n+k=2m}\) wtedy
\(\displaystyle{ ab-1=4nk+4m=4(nk+m)}\)
Co kończy dowód.
\(\displaystyle{ a=2n+1}\)
\(\displaystyle{ b=2k+1}\)
\(\displaystyle{ c=2p+1}\)
wtedy
\(\displaystyle{ ab-1=4nk+2(n+k)}\)
\(\displaystyle{ bc-1=4kp+2(k+p)}\)
\(\displaystyle{ ca-1=4np+2(n+p)}\)
Zauważ że wśród liczb \(\displaystyle{ n+k,\ k+p,\ n+p}\)
zawsze znajdzie się parzysta bo jeśli 2 z \(\displaystyle{ (n,k,p)}\) były by nieparzyste to ich suma była by parzysta jeśli jedna była by nieparzysta to suma 2 parzystach da parzystą. Tak więc zawsze znajdzie się taka liczba parzysta więc dla ustalania uwagi niech będzie to \(\displaystyle{ n+k}\) co zapiszemy \(\displaystyle{ n+k=2m}\) wtedy
\(\displaystyle{ ab-1=4nk+4m=4(nk+m)}\)
Co kończy dowód.
-
- Użytkownik
- Posty: 98
- Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1 raz
Podzielność przez 4
Dlaczego \(\displaystyle{ n+k=2m}\) a nie samo \(\displaystyle{ m}\)? dlaczego w tym przypadku podstawiamy \(\displaystyle{ 2m}\)?
Ostatnio zmieniony 18 cze 2018, o 22:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4106
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 82 razy
- Pomógł: 1410 razy
Podzielność przez 4
\(\displaystyle{ m}\) to nowa zmienna jakaś liczba naturalna jej oznaczenie jest wybrane arbitralnie. Wiemy o \(\displaystyle{ n+k}\) że jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\) więc można ją zapisać jako iloczyn \(\displaystyle{ 2}\) z liczną naturalną właśnie \(\displaystyle{ m}\) dlatego \(\displaystyle{ n+k=2m}\)