Matematyka.pl

a) \(\displaystyle{ 5}\), b) \(\displaystyle{ 3}\), c) \(\displaystyle{ 7}\), d) \(\displaystyle{ 8}\) zamieniłem \(\displaystyle{ 4^{k}}\) na \(\displaystyle{ 2^{2k}}\), e) \(\displaystyle{ 7, 2^{k} \cdot 3^{k}}\).
Jeszcze przy okazji zapytam o jedno zadanie czy dobrze myślę, mianowicie:
Ile zer końcowych mają liczby \(\displaystyle{ 34!!}\) oraz \(\displaystyle{ 35!!}\), to w pierwszym przypadku wychodzi, że \(\displaystyle{ 3}\). No a w drugim to \(\displaystyle{ 0}\), gdyż aby na końcu było zero potrzeba iloczynu\(\displaystyle{ 2 \cdot 5}\), a tutaj wszystkie czynniki są nieparzyste.

Znów a) dobrze, reszta źle. Weź np. b) - przecież \(\displaystyle{ n,m}\) są dowolnymi liczbami spełniającymi założenie. Jeżeli np. \(\displaystyle{ n=5,\ m=5^6}\), to \(\displaystyle{ 5^3|nm}\), ale czy teza jest wtedy prawdziwa?

Twoje drugie pytanie: jest ok.

Ja to robiłem w ten sposób:
Dla b)
\(\displaystyle{ 5^{k}|mn) \Rightarrow (5^{2}|m \vee 5^{7}|n)\\}\)

Widzę, że iloczyn dwóch liczb \(\displaystyle{ mn}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 5^{k}}\) ,a następnie, że \(\displaystyle{ m}\) musi się dzielić przez \(\displaystyle{ 5^{2}}\) lub \(\displaystyle{ n}\)przez \(\displaystyle{ 5^{7}}\).
Zatem szukam dla jakiego \(\displaystyle{ k}\) ta implikacja nie będzie prawdziwa.
\(\displaystyle{ 5^{2}}\) za mało ponieważ istnieje taka kombinacja \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) w której\(\displaystyle{ 5^{2}}\) nie zadziała, czyli
\(\displaystyle{ 5^{1} \cdot 5^{1}}\). Żadna z tych liczb nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 5^{2}}\).
Z kolei \(\displaystyle{ 5^{4}}\)spełnia warunki zadania liczby \(\displaystyle{ m=5^{2}, n=5^{2}}\), ta lub ta dzieli się przez \(\displaystyle{ m}\), więc jest to dobra liczba jednakże dla \(\displaystyle{ k=3}\) też to zadziała, a w zadaniu trzeba było wskazać najmniejszą.

I w sumie nie wiem gdzie popełniam błąd.

W kwestii przykładów, które robisz źle - podchodzisz do nich schematycznie, bez wystarczającego zrozumienia. Pomyśl o przykładzie

b) \(\displaystyle{ 5^{k}|mn \Rightarrow (5^{2}|m \vee 5^{7}|n).}\)

Masz dwie szufladki \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) i rozkładasz do nich \(\displaystyle{ k}\) identycznych kulek. Zastanawiasz się, ile co najmniej musisz tych kulek wziąć, żeby albo w szufladce \(\displaystyle{ m}\) były na pewno dwie kulki, albo w szufladce \(\displaystyle{ n}\) było \(\displaystyle{ 7}\) kulek.

Twoja pierwsza odpowiedź: \(\displaystyle{ 13}\) - pomyślałeś o zasadzie szufladkowej (ZSz). Jak weźmiesz tyle kulek, to na pewno w jednej z szufladek będzie \(\displaystyle{ 7}\) kulek. Warunek będzie spełniony, ale czy trzeba aż tyle? Przecież te szufladki nie są identyczne, a ZSz w podstawowej wersji stosuje się do identycznych szufladek.

No to próbujesz dalej: \(\displaystyle{ 3}\) - jest jeszcze gorzej, dalej próbujesz schematycznie stosować ZSz w ten sam sposób, dostajesz, że przynajmniej w jednej szufladce są \(\displaystyle{ 2}\) kule, tylko co z tego? Nie postarałeś się zrozumieć sytuacji, tylko walisz brutalnie zadanie jedynym narzędziem, jakie posiadasz...
A przecież te dwie kule mogą być w złej szufladce, czyli \(\displaystyle{ n}\). I wtedy warunek nie jest spełniony (jak pokazała Co bosa_nike).

Zamiast tego postaraj się zrobić to, co Ci wcześniej radzono. Pomyśl sobie, że masz te dwie szufladki \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\), worek kulek (czyli "piątek") i wyluzowany wrzucasz po jednej kulce do szufladek. Ale robisz to tak, żeby było jak najgorzej dla Ciebie (bo taka jest treść zadania: Wskazać najmniejsza (o ile taka w ogóle istnieje) liczbę naturalna \(\displaystyle{ k}\), dla której podane wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ m, n}\) - tłumacząc na kulki, warunek musi być spełniony niezależnie od tego, jak będziesz wrzucał. Rozsądnie jest zatem przyjąć, że wrzucasz maksymalnie złośliwie - jeżeli przy takim wrzucaniu Ci się uda, to przy każdym innym też).

Dobra, wrzucasz pierwszą kulkę np. do \(\displaystyle{ m}\). Teraz druga kulka - nie możesz wrzucić jej do \(\displaystyle{ m}\), bo warunek byłby spełniony (bo miałbyś \(\displaystyle{ 5^2\mid m}\)), a Ty chcesz być złośliwy. Wrzucasz zatem do \(\displaystyle{ n}\). Teraz trzecia kulka - gdzie ją wrzucisz? I tak dalej... Ile możesz maksymalnie wrzucić kulek, żeby warunek nie był spełniony? No to jak teraz dorzucisz jeszcze jedną, to warunek już spełniony będzie, a Ty wiesz, ile kulek Ci wystarczy, żeby zawsze spełnić warunek.

JK

Krótko: Jeżeli dla uzyskanego \(\displaystyle{ k}\) możesz tak wybrać czynniki, że założenie jest spełnione, ale nie wynika zeń teza, to znaczy, że rozwiązanie jest złe. Dwa posty wyżej masz przykład takich \(\displaystyle{ m,n}\).

Ja twierdzę, że w b) \(\displaystyle{ k=8}\). Rozpisz to sobie i spróbuj, czy znajdziesz \(\displaystyle{ m,n}\), dla których teza jest nieprawdziwa (tzn. nie zachodzi żadna z podzielności). Jeżeli masz czas, to rozpisz także dla mniejszych \(\displaystyle{ k}\) - może to pomoże zrozumieć, jak to dzała.

wallace pisze:I w sumie nie wiem gdzie popełniam błąd.

Mówiąc uczenie: mylisz kwantyfikatory. To, że raz Ci się uda nie oznacza, że uda Ci się zawsze.

JK

Zgadzam się, jeszcze sporo nauki przede mną, może wyjdę kiedyś poza schemat.
Myślę, że nawet ja zrozumiałem przekaz o kuleczkach .
W \(\displaystyle{ a) 5, b)8, c)18, d)19.}\)
Cóż mogę powiedzieć o przykładzie \(\displaystyle{ e)}\), z całą pewnością mógłbym rozłożyć liczbę 6 na czynniki pierwsze jednak czy to mi w czymś pomoże?.
Postępując wg. wcześniejszego schematu musiałbym wskazać liczbę \(\displaystyle{ 18}\), jednakowo kusi mnie stwierdzenie, że taka liczba nie istnieje. (z pewnością dlatego, że dr. Wróblewski napisał "o ile taka w ogóle istnieje").
Jednak taka odpowiedz to dla mnie pewien niedosyt, na tą chwilę nie potrafię nic więcej kreatywnego powiedzieć, wymyślić.

ps. Dr. Wróblewski miał wenę przy układaniu końcowych zadań z drugiej listy , szkoda że nie wygooglałem jakiś notatek do nich wtedy mój spam na forum byłby mniejszy.
Jan Kraszewski, bosa_Nike, dziękuję wam za okazałą pomoc i cierpliwość. Zapewne jeszcze nie raz będę chciał zapytać o jakąś radę.

e) Intuicja jest słuszna. Rozkład \(\displaystyle{ m=1,n=2^k,r=3^k}\) pokazuje, że dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) możemy tak dobrać czynniki, żeby teza była fałszywa.