Matematyka.pl

Czy liczba \(\displaystyle{ 17^{13} + 13^{17}}\) jest podzielna przez 10 ? Odpowiedź uzasadnij.

Musisz wykazać, że liczba jedności tej cyfry jest równa 0, najbardziej elementarnie można to zrobić (nie korzystając dosł. z funkcji modulo) rozpatrując właśnie te liczby jedności
17
liczby jedności przy kolejnych potęgach zaczynając od 1 to:
7, 9, 3, 1, 7, 9, ...
Natomiast 13:
3, 9, 7, 1, 3, ...

Liczba jedności 13 do potęgi 17 to 17:4=4 r. 1 (dzielę przez 4, bo tyle wynosi okres jedności-co 4 pojawia się ta sama liczba), czyli szukana jedność znajduje się na 1(reszta) miejscu, patrząc na napisany przeze mnie wyżej rozkład zobaczysz, że jest to 3.
Analogicznie, widzimy, że liczba jedności 17 do potęgi 13 w rozkładzie będzie na 1 miejscu-czyli mamy 3.
\(\displaystyle{ 17^{13} + 13^{17}= ...3 + ...7 =....0 = 10a}\), gdzie a jest liczbą całkowitą
Jeśli znałbyś kongruencje, zapewne nie miałbyś z tym zadaniem problemu

Czytałem wczoraj własnie o tych kongurencjach ale zbytnio tego nie rozumiem, to znaczy nie za bardzo wiem jak zastosować to w zadaniu. Mogłabyś pokazać?

\(\displaystyle{ 17^{13}\equiv 7^{13} \equiv 7 (mod10)}\)
\(\displaystyle{ 13^{17}\equiv 3^{17}\equiv 3 (mod10)}\)
\(\displaystyle{ 17^{13} +13^{17} \equiv 7+3=10\equiv 0 (mod10)}\)

Nie za bardzo rozumiem skąd się wzięła ostatnia linijka. Możnaby prosić o wytłumaczenie?

Można dodawać kongruencje (mod n) stronami i to właśnie zostało zrobione

No tak teraz to już jednak widzę. Nie mogę jednak nadal zrozumieć jak na podstawie ostatniej linijki dowieśc że ta liczba faktycznie jest podzielna przez 10.

W ostatniej linijce jest pokazane, że ta liczba przy dzieleniu przez 10 daje resztę zero \(\displaystyle{ \equiv 0 (mod10)}\), a co za tym idzie jest podzielna przez 10.

No tak, dlatego że 10 jest w kongurencji z zerem względem modułu 10 ? (Bo 10 - 0 = 10 co oczywiście jest podzielne przez 10). O to chodzi ?

To się nazywa kongruencja, a nie kongurencja. Przeczytaj mój ostatni post tam ci napisałem dlaczego tak jest. W kongruencji (modn) chodzi o reszty z dzielenia liczby przez n. Zapis \(\displaystyle{ a\equiv b (modn)}\) oznacza, że liczba a przy dzieleniu przez n daje resztę b, a więc zapis \(\displaystyle{ 17^{13} +13^{17} \equiv 7+3=10 \equiv 0 (mod10)}\) oznacza, że liczba \(\displaystyle{ 17^{13} +13^{17}}\), przy dzieleniu przez 10 daje resztę 0, a co za tym idzie jest przez nią podzielna.

A ja wyczytałem, że dwie liczby są w kongruencji według modułu n, jeżeli różnica a-b jest podzielna przez n.

Nie rozumiem jeszcze, skąd w ostatniej linijce wzięło się to zero...

To co napisałeś jest równoważne temu co ja napisałem. Definicje kongruencji są dwie ta co ja napisałem i ta co ty napisałeś. To ostatnie przejście wynika z tego co napisałeś, czyli 10 i 0 są w kongruencji modulo10.

Rozumiem wszystko do momentu

\(\displaystyle{ 17^{13} +13^{17} \equiv 10 (mod10)}\)

I do tego momentu wszystko rozumiem, ale dalej niestety nie za bardzo

Dalej masz tylko, że
\(\displaystyle{ 10\equiv 0 (mod10)}\)
I czego z tego nie rozumiesz?

I teraz należy dodać stronami i 10 po lewej stronie zredukuje się z 10 po prawej stronie?