mam znależć cyfrę jedności ale nie wiem jak??

alikgor · Post autor: **alikgor** » 21 paź 2006, o 19:14

mam z tym zadankiem nie lada problemik:)
bede wdzieczny za jakąkolwiek pomoc:)

Jaka jest cyfra jedności liczby \(\displaystyle{ 2003^{2001} + 2007^{2000} + 2009^{1999} = ??}\)
2001, 2000, 1999 to potęgi.

[edit] obejrzyj teraz swojego posta przez opcję edycji i spójrz jak niewiele trzeba, aby było te potęgi widać. pzdr. Undre

Post autor: **Calasilyar** » 21 paź 2006, o 19:52

\(\displaystyle{ 2003^{2001}+2007^{2000}+2009^{1999}\equiv 3^{2001}+7^{2000}+3^{3998}\equiv 3^{1}+7^{0}+3^{2}\equiv 3+1+9\equiv 3+1+9\equiv 3 (mod 10)}\)

proszę jeszcze o weryfikację mojego rozwiązania!

alikgor · Post autor: **alikgor** » 21 paź 2006, o 20:01

nie rozumiem tej ostatniego zapisu jak policzyłeś ze

Calasilyar pisze:\(\displaystyle{ 2009^{1999}\equiv 3^{3998}}\)

Post autor: **Calasilyar** » 21 paź 2006, o 20:30

\(\displaystyle{ 2009^{1999}\equiv 9^{1999}\equiv 3^{3998}}\)

niewiadomo · Post autor: **niewiadomo** » 21 paź 2006, o 20:48

a skąd się wzięło \(\displaystyle{ 3^{2001} \equiv 3^{1}}\)

Post autor: **Calasilyar** » 21 paź 2006, o 20:53

gdyż \(\displaystyle{ 3^{2001}}\) ma taka samą resztę z dzielenia przez 10 jak 3, gdyż reszty potęg trójki modulo 10 tworzą ciąg (3,9,7,1), czyli zależą one od reszty z dzielenia potęgi przez 4 (\(\displaystyle{ 2001\equiv 1 (mod 4)}\))