Matematyka.pl

Liczby całkowite \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) są względnie pierwsze. Pokaż, że również liczby \(\displaystyle{ y^2}\) oraz \(\displaystyle{ x + y}\) są względnie pierwsze.

Jak to zrobić? Jak to w ogóle ugryźć? Może mi ktoś pomóc?

Nie wprost.

JK

Nie wiem od czego zacząć. Przychodzi mi do głowy tylko, że:
Zakładając nie wprost nie istnieją liczby \(\displaystyle{ s,t}\) całkowite, że:
\(\displaystyle{ sy^2+t(x+y)=1}\), ale przekształcając to równoważnie nie istnieją liczby \(\displaystyle{ s,t}\), że
\(\displaystyle{ tx+(sy+t)y=1}\), no ale wiemy, że istnieją \(\displaystyle{ a,b}\) całkowite, że \(\displaystyle{ ax+by=1}\), ale jeśli \(\displaystyle{ t=a}\) i \(\displaystyle{ sy+t=b}\), a tak chyba możemy rozłożyć to znaczy, że istnieją takie \(\displaystyle{ s,t}\) co prowadzi do sprzeczności chociaż sam nie wiem. Może tak być?

Zakładając nie wprost istnieje wspólny dzielnik pierwszy obu liczb.

JK

Nie no nie wiem jak to zrobić. Mogę sobie napisać \(\displaystyle{ y^2=dm}\) i \(\displaystyle{ x+y=dn}\), ale co z tego?

Chociaż może taką prostą analizę zrobić, że skoro \(\displaystyle{ y^2}\) ma dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ d}\), to też \(\displaystyle{ y}\) powinien mieć dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ d}\) (jak to uzasadnić?). No, a skoro \(\displaystyle{ y}\) ma dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ d}\) i \(\displaystyle{ x+y}\) ma dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ d}\), no to \(\displaystyle{ x}\) musi mieć dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ d}\), bo jak suma ma dzielnik i jeden ze składników ma dzielnik to drugi też. (Czy to wymaga uzasadnienia?). No, a skoro \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) mają dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ d}\), to nie są względnie pierwsze wbrew założeniu. Zatem \(\displaystyle{ y^2}\) i \(\displaystyle{ x+y}\) są względnie pierwsze.

Może tak być?

max123321 pisze: ↑30 paź 2022, o 21:19Może tak być?

O to mi chodziło.

max123321 pisze: ↑30 paź 2022, o 21:19 Chociaż może taką prostą analizę zrobić, że skoro \(\displaystyle{ y^2}\) ma dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ d}\), to też \(\displaystyle{ y}\) powinien mieć dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ d}\) (jak to uzasadnić?).

Z rozkładu na czynniki pierwsze masz podstawowe twierdzenie, że dla liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) jeśli \(\displaystyle{ p\mid ab}\), to \(\displaystyle{ p\mid a}\) lub \(\displaystyle{ p\mid b}\). Albo po prostu wprost odwołujesz się do rozkładu na czynniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ y^2.}\)

max123321 pisze: ↑30 paź 2022, o 21:19 No, a skoro \(\displaystyle{ y}\) ma dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ d}\) i \(\displaystyle{ x+y}\) ma dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ d}\), no to \(\displaystyle{ x}\) musi mieć dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ d}\), bo jak suma ma dzielnik i jeden ze składników ma dzielnik to drugi też. (Czy to wymaga uzasadnienia?).

A skąd mam wiedzieć? To nie ja zadałem to zadanie i nie ja ustalałem, jak dokładnie ma być uzasadnione... Poza tym uzasadnienie, o które pytasz, jest bardzo proste.

JK

A chyba widzę to uzasadnienie. Jeśli \(\displaystyle{ y=dm}\) i \(\displaystyle{ x+y=dn}\) to \(\displaystyle{ x=dn-dm=d(n-m)}\), czyli \(\displaystyle{ x}\) ma dzielnik \(\displaystyle{ d}\) bo \(\displaystyle{ n-m}\) jest całkowite, bo działanie odejmowania jest wewnętrzne w zbiorze liczb całkowitych.

To jest dobrze?

Dobrze.

JK