Matematyka.pl

Witam
Próbuję rozwiązać zadanie: Pokazać, że jeśli a i b, (b<a) są liczbami naturalnymi, to \(\displaystyle{ \left[ \frac{a}{b} \right] }\) jest ilorazem, natomiast
\(\displaystyle{ a-\left[ \frac{a}{b}\right]\cdot b }\) jest resztą z dzielenia.

1.
\(\displaystyle{ a=q\cdot b+r}\)
\(\displaystyle{ a= \left[ \frac{a}{b}\right] +a-\left[ \frac{a}{b}\right]\cdot b }\)
\(\displaystyle{ a=a}\)
czyli w zasadzie otrzymuję to co miałem wykazać. Ale teraz tak

2.
z definicji dzielenia całkowitego wiadomo, że \(\displaystyle{ 0 \le r<b}\)
\(\displaystyle{ 0 \le a-\left[ \frac{a}{b} \right]\cdot b <b}\)
\(\displaystyle{ b\cdot \left[ \frac{a}{b} \right] \le a<b\cdot \left[ \frac{a}{b} \right]+b }\)
\(\displaystyle{ \left[ \frac{a}{b} \right] \le \frac{a}{b} <\left[ \frac{a}{b} \right]+1 }\)

Ostatnia nierówność dowodzi, wychodząc od r stwierdzam, że \(\displaystyle{ \left[ \frac{a}{b} \right]}\) spełnia własności sufitu czyli stanowi część całkowitą dzielenia.
Mam pytanie czy w ten sposób można wykazać zadane twierdzenie. Jeśli tak to który sposób jest prawidłowy. I czy można by to zadanie udowodnić korzystając z zależności, że \(\displaystyle{ \frac{a}{b}-r =q}\)

Ciężko stwierdzić jakie jest tutaj twoje rozumowanie na podstawie samych wzorów. Coś przekształcasz i na końcu dochodzisz do znanych własności, więc wygląda niepoprawnie.

Poprawny schemat rozwiązania tego zadania polega na skorzystaniu z twierdzenia, że iloraz i reszta są wyznaczone jednoznacznie tzn. jeśli zachodzi \(\displaystyle{ a=qb+r}\) oraz \(\displaystyle{ 0\leq r <b}\), przy czym wszystkie liczby są całkowite, to \(\displaystyle{ q}\) jest ilorazem, zaś \(\displaystyle{ r}\) resztą z dzielenia \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ b}\).

matmatmm pisze: ↑7 paź 2023, o 19:22 Ciężko stwierdzić jakie jest tutaj twoje rozumowanie na podstawie samych wzorów. Coś przekształcasz i na końcu dochodzisz do znanych własności, więc wygląda niepoprawnie.

Mógłbyś rozwiązać to zadanie poprawnie proszę, bo ja nie mam innego pomysłu. Mam na myśli wykazanie tego algebraicznie, czyli w formie przekształcenia wzorów. Czy tak da się to zadanie rozwiązać?

No przecież napisałem Ci jak zrobić:

matmatmm pisze: ↑7 paź 2023, o 19:22 jeśli zachodzi \(\displaystyle{ a=qb+r}\) oraz \(\displaystyle{ 0\leq r <b}\), przy czym wszystkie liczby są całkowite, to \(\displaystyle{ q}\) jest ilorazem, zaś \(\displaystyle{ r}\) resztą z dzielenia \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ b}\).

Wystarczy, że sprawdzisz te dwie własności podstawiając \(\displaystyle{ q=\left[\frac ab\right]}\) oraz \(\displaystyle{ r=a-\left[\frac ab\right]b}\).

To jest naprawdę proste.

Chyba mam poprawny dowód:

\(\displaystyle{ a=q\cdot b+r}\) przy czym \(\displaystyle{ 0 \le r<b}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = q + \frac{r}{b} }\) i jednocześnie \(\displaystyle{ 0 \le \frac{r}{b} <1}\)

\(\displaystyle{ \left[ \frac{a}{b} \right]=\left[ q+ \frac{b}{r} \right]=\left[ q\right]=q }\)

Czy teraz rozwiązanie zadania jest poprawne?

Z grubsza jest, chociaż przydałby się komentarz.