Dowód podzielności przez 100
-
- Użytkownik
- Posty: 389
- Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 214 razy
Dowód podzielności przez 100
Wykaż, że jeżeli liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) jest niepodzielna przez 5, to liczba \(\displaystyle{ (n-1)(n+1)( n^{2}+1)( n^{4}+4) }\) jest podzielna przez 100.
Pokazałem podzielność przez \(\displaystyle{ 5 \cdot 5=25}\) dla \(\displaystyle{ n=5k-1, n=5k+1, n=5k-2, n=5k+2}\), gdzie k jest liczbą naturalna, ale nie potrafię pokazać podzielności przez 4. Pomoże ktoś?
Pokazałem podzielność przez \(\displaystyle{ 5 \cdot 5=25}\) dla \(\displaystyle{ n=5k-1, n=5k+1, n=5k-2, n=5k+2}\), gdzie k jest liczbą naturalna, ale nie potrafię pokazać podzielności przez 4. Pomoże ktoś?
-
- Użytkownik
- Posty: 389
- Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 214 razy
Re: Dowód podzielności przez 100
Dla n nieparzystego otrzymuję podzielność przez 16 (wystarczy mi podzielność przez 4)
Dodano po 2 minutach 56 sekundach:
ale dla n parzystego... aha! ostatni nawias daje mi podzielność przez \(\displaystyle{ 2 ^{4} +4=20}\). Dobrze rozumuję?
Dodano po 2 minutach 56 sekundach:
ale dla n parzystego... aha! ostatni nawias daje mi podzielność przez \(\displaystyle{ 2 ^{4} +4=20}\). Dobrze rozumuję?
-
- Użytkownik
- Posty: 389
- Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 214 razy
Re: Dowód podzielności przez 100
No nie? Przecież staram się udowodnić podzielność przez 4.
Dodano po 44 sekundach:
Podzielność przez 25 udowodniłem wcześniej
Dodano po 44 sekundach:
Podzielność przez 25 udowodniłem wcześniej
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Dowód podzielności przez 100
Można też zauważyć (zapisując odpowiednie wielomiany w innej bazie), że
\begin{split}
(5 n+1-1) (5 n+1+1) \left((5 n+1)^2+1\right) \left((5 n+1)^4+4\right) & = 1683500 {n \choose 1} +211035800 {n \choose 2} \\
& \, +3657006000 {n \choose 3} +21922470000 {n \choose 4} \\
& \, +60527250000 {n \choose 5} +84577500000{n \choose 6}\\
& \, +58275000000 {n \choose 7} +15750000000 {n \choose 8}
\end{split}
(5 n+1-1) (5 n+1+1) \left((5 n+1)^2+1\right) \left((5 n+1)^4+4\right) & = 1683500 {n \choose 1} +211035800 {n \choose 2} \\
& \, +3657006000 {n \choose 3} +21922470000 {n \choose 4} \\
& \, +60527250000 {n \choose 5} +84577500000{n \choose 6}\\
& \, +58275000000 {n \choose 7} +15750000000 {n \choose 8}
\end{split}
\begin{split}
(5 n+2-1) (5 n+2+1) \left((5 n+2)^2+1\right) \left((5 n+2)^4+4\right) & = 300 {n \choose 0} + 5771700 {n \choose 1} \\
& \, +418500200 {n \choose 2}+5703192000 {n \choose 3} \\
& \,+29529720000 {n \choose 4}+73536750000 {n \choose 5} \\
& \, +94972500000 {n \choose 6}+61425000000 {n \choose 7}\\
& \, +15750000000 {n \choose 8}
\end{split}
(5 n+2-1) (5 n+2+1) \left((5 n+2)^2+1\right) \left((5 n+2)^4+4\right) & = 300 {n \choose 0} + 5771700 {n \choose 1} \\
& \, +418500200 {n \choose 2}+5703192000 {n \choose 3} \\
& \,+29529720000 {n \choose 4}+73536750000 {n \choose 5} \\
& \, +94972500000 {n \choose 6}+61425000000 {n \choose 7}\\
& \, +15750000000 {n \choose 8}
\end{split}
\begin{split}
(5 n+3-1) (5 n+3+1) \left((5 n+3)^2+1\right) \left((5 n+3)^4+4\right) & =6800 {n \choose 0} + 16782700 {n \choose 1} \\
& \,+ 782244200 {n \choose 2} + 8623188000 {n \choose 3} \\
& \, + 39058470000 {n \choose 4} + 88373250000 {n \choose 5} \\
& \, + 105997500000 {n \choose 6} + 64575000000 {n \choose 7} \\
& \, + 15750000000 {n \choose 8}
\end{split}
(5 n+3-1) (5 n+3+1) \left((5 n+3)^2+1\right) \left((5 n+3)^4+4\right) & =6800 {n \choose 0} + 16782700 {n \choose 1} \\
& \,+ 782244200 {n \choose 2} + 8623188000 {n \choose 3} \\
& \, + 39058470000 {n \choose 4} + 88373250000 {n \choose 5} \\
& \, + 105997500000 {n \choose 6} + 64575000000 {n \choose 7} \\
& \, + 15750000000 {n \choose 8}
\end{split}
\begin{split}
(5 n+4-1) (5 n+4+1) \left((5 n+4)^2+1\right) \left((5 n+4)^4+4\right) & =66300 {n \choose 0} + 43000100 {n \choose 1}\\
& \,+1389837800 {n \choose 2} + 12685374000 {n \choose 3} \\
& \, + 50823720000 {n \choose 4} + 105162750000 {n \choose 5} \\
& \, + 117652500000 {n \choose 6}+ 67725000000 {n \choose 7} \\
& \, +15750000000 {n \choose 8}
\end{split}
a ponieważ liczby po prawej zawsze mają dwa zera na końcu teza jest udowodniona.(5 n+4-1) (5 n+4+1) \left((5 n+4)^2+1\right) \left((5 n+4)^4+4\right) & =66300 {n \choose 0} + 43000100 {n \choose 1}\\
& \,+1389837800 {n \choose 2} + 12685374000 {n \choose 3} \\
& \, + 50823720000 {n \choose 4} + 105162750000 {n \choose 5} \\
& \, + 117652500000 {n \choose 6}+ 67725000000 {n \choose 7} \\
& \, +15750000000 {n \choose 8}
\end{split}
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Dowód podzielności przez 100
Można dużo krócej:
\(\displaystyle{ n=5k+r, r=1,2,3,4}\)
Po podstawieniu do wzoru i skróceniu modulo 100, otrzymamy:
\(\displaystyle{ 25k^4(k^4+3)+50k^2r^2(k^2r^2+1)+20kr^3(2r^4+3)+(r^8+3r^4-4)}\)
Łatwo zauważyć, że każdy z tych czynników i ostatni nawias zawsze dzieli się przez \(\displaystyle{ 100}\)...
\(\displaystyle{ n=5k+r, r=1,2,3,4}\)
Po podstawieniu do wzoru i skróceniu modulo 100, otrzymamy:
\(\displaystyle{ 25k^4(k^4+3)+50k^2r^2(k^2r^2+1)+20kr^3(2r^4+3)+(r^8+3r^4-4)}\)
Łatwo zauważyć, że każdy z tych czynników i ostatni nawias zawsze dzieli się przez \(\displaystyle{ 100}\)...
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Dowód podzielności przez 100
Chyba Cię matka nie kochała.arek1357 pisze: ↑11 kwie 2022, o 16:27 Można dużo krócej:
\(\displaystyle{ n=5k+r, r=1,2,3,4}\)
Po podstawieniu do wzoru i skróceniu modulo 100, otrzymamy:
\(\displaystyle{ 25k^4(k^4+3)+50k^2r^2(k^2r^2+1)+20kr^3(2r^4+3)+(r^8+3r^4-4)}\)
Łatwo zauważyć, że każdy z tych czynników i ostatni nawias zawsze dzieli się przez \(\displaystyle{ 100}\)...
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Dowód podzielności przez 100
Ale podzielnośc jednego skłądnika przez `2^4` a drugiego przez `4` nie oznacza podzielności sumy przez `20`poetaopole pisze: ↑11 kwie 2022, o 12:11 No nie? Przecież staram się udowodnić podzielność przez 4.
Dodano po 44 sekundach:
Podzielność przez 25 udowodniłem wcześniej
Dodano po 16 godzinach 40 minutach 16 sekundach:
Zależy jak krótkość zdefiniujesz. Dla mnie nie jest, bo dojście do tej postaci, a potem sprawdzenie na palcach dwóch ostatnich podzielności wymaga dużo więcej pracy niż pomysł autora.
No chyba, że odnosiłeś się do pomysłu Janusza Tracza, który tutaj zaszalał.