Przypomnijmy, złoty stosunek, to podział odcinka na dwie części, taki, że stosunek dłuższej części \(\displaystyle{ a}\) do krótszej części \(\displaystyle{ b}\) jest taki sam jak stosunek całego odcinka do części dłuższej. Oznaczmy ten stosunek jako \(\displaystyle{ x \in \RR_+}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ x ^{2}= \frac{a}{b} \cdot \frac{a+b}{a}= \frac{a+b}{b}. }\)
A zatem:
\(\displaystyle{ x ^{2}-x= \frac{a+b}{b}- \frac{a}{b}=1.}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ x ^{2}=x+1;}\)
podzielmy obie strony tego równania przez \(\displaystyle{ x}\) (mamy \(\displaystyle{ x \neq 0}\), bo \(\displaystyle{ 0= 0^{2} \neq 0+1=1}\)), a wtedy:
\(\displaystyle{ x=1+ \frac{1}{x}}\), a zatem podstawiając za to \(\displaystyle{ x=1+ \frac{1}{x} }\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x=1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{x} }}\),
i dalej:
\(\displaystyle{ x=1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{x} } };}\)
i mając:
\(\displaystyle{ x=1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+\ddots 1+ \frac{1}{x} } };
}\)
gdzie mamy \(\displaystyle{ n}\) pięter, to:
podstawiając za \(\displaystyle{ x=1+ \frac{1}{x},}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x=1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \ddots 1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{x} } } }; }\)
gdzie mamy \(\displaystyle{ \left( n+1\right) }\) pięter.
Stąd:
\(\displaystyle{ x= \lim_{ n\to + \infty } 1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+\ddots 1+\frac{1}{1}} };}\)
Jest to najpiękniejsza granica (
będąca złotą proporcją). Wynosi ona \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5}+1 }{2} \approx 1,62}\).
Jest to stosunek długości przekątnej pięciokąta foremnego do długości jego boku. Oto:
DOWÓD TEGO FAKTU::
