Matematyka.pl

Obliczyć boki trójkąta prostokątnego, którego pole wynosi \(\displaystyle{ 30}\) (cm x cm),
oraz wyznacz promień okręgu wpisany w ten trójkąt .
T.W.

Zadanie w sposób oczywisty nie ma jednoznacznego rozwiązania. Weź dowolny mały trójkąt prostokątny i dmuchaj go tak długo aż będzie miał żądane pole.

jakie boki będzie miał trójkąt prostokątny o polu \(\displaystyle{ S =30}\) o bokach w liczbach całkowitych .
Jeśli dowolny trójkąt prostokątny ,to wybierzmy trójkąt prostokątny o bokach \(\displaystyle{ 12}\) , \(\displaystyle{ 5}\) ,\(\displaystyle{ 13}\) .
W tym przypadku należy dmuchać czy wysysać ( odpompować ) .
Jeśli będziemy wysysać to otrzymamy trójkąt prostokątny o wymiarach \(\displaystyle{ 6 }\), \(\displaystyle{ 2{,}5}\) , \(\displaystyle{ 6{,}5}\) .
T. W.

A co chcesz dmuchać jak on ma pole równe `30`?

Jeśli obwód trójkąta zmniejszymy dwukrotnie , to pole zmniejsz się czterokrotnie . ( i odwrotnie)
Stąd w otrzymamy trójkąt prostokątny o polu \(\displaystyle{ S = \frac{30}{4} = 7,5}\) o bokach \(\displaystyle{ 6,\ 2,5,\ 6,5.}\)
Jeżeli dobrze zrozumiałem to w ten właśnie trójkąt prostokątny należy teraz dmuchać aż osiągniemy pole \(\displaystyle{ S =30}\) .
Jeśli tak to problem w tym zagadnieniu , jest dla mnie bardzo klarowny .
Dziękuje za te ciekawe i dydaktyczne wskazówki .
Pozdrawiam T.W.

dzialka11o pisze: ↑13 lip 2023, o 13:32 Jeśli będziemy wysysać to otrzymamy trójkąt prostokątny o wymiarach \(\displaystyle{ 6 }\), \(\displaystyle{ 2{,}5}\) , \(\displaystyle{ 6{,}5}\) .
T. W.

Boki nie są liczbami całkowitymi i pole nie jest równe \(\displaystyle{ 30}\)

\(\displaystyle{ x,y }\) - długości przyprostokątnych
\(\displaystyle{ \frac{xy}{2}}\) - pole
\(\displaystyle{ \frac{xy}{2}=30}\)
\(\displaystyle{ xy=60}\)
Boki mają być liczbami całkowitymi, więc mamy
\(\displaystyle{ xy=1\cdot60}\)
\(\displaystyle{ xy=2\cdot30}\)
\(\displaystyle{ xy=4\cdot15}\)
\(\displaystyle{ xy=5\cdot12}\)
\(\displaystyle{ xy=6\cdot10}\)
Tylko trójkąt o przyprostokątnych \(\displaystyle{ 5,12}\) będzie miał przeciwprostokątną "naturalną".

Z jakiego powodu anna_ pominęłaś \(\displaystyle{ xy=3\cdot 20}\) ?

OK ! anna_
To Bardzo ciekawy i zrozumiały sposób wyliczenia boków tego trójkąta !
( Ten podany trójkąt to połowa boków trójkąta także i przez Ciebie wyliczona)
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Ja pisałem :
" Jeżeli dobrze zrozumiałem to w ten właśnie trójkąt prostokątny należy teraz dmuchać aż osiągniemy pole \(\displaystyle{ S=30}\) "
Czyli w ten trójkąt < teraz dopiero należy dmuchać >
----------------------------------------------------------------
Jeśli dowolny prostokątny to wybierzmy trójkąt egipski \(\displaystyle{ ( 3, 4 , 5 )}\)
Jakie będzie miał wymiary ten nowy trójkąt prostokątny o polu \(\displaystyle{ S=30}\).
Metodą dmuchania należy boki trójkąta egipskiego powiększyć \(\displaystyle{ k}\)-krotnie .
Odpowiedz : \(\displaystyle{ k = 5^{0.5}}\)
T.W.





.

kinia7 pisze: ↑14 lip 2023, o 21:06 Z jakiego powodu anna_ pominęłaś \(\displaystyle{ xy=3\cdot 20}\) ?

Zgubiło mi się.

Znaleźć wymiary trójkąta prostokątnego o polu \(\displaystyle{ S= 84}\) (cm x cm ).
T.W.

Wg mnie, wśród trójkątów pitagorejskich, jest jeden: \(7,\ 24,\ 25\).

OK
Wyznaczyć takie prostokąty , których boki mają miarę w liczbach całkowitych
i przekątne tego prostokąta też mają miarę liczbach całkowitych .

T.W.

To dokładnie takie prostokąty, których długości boków \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) są częścią pewnej trójki pitagorejskiej \(\displaystyle{ (a, b, c)}\). Problem wyznaczania takich trójek jest dobrze znany (i rozwiązany):
https://pl.wikipedia.org/wiki/Trójki_pitagorejskie

Inne zależności :
Jeżeli trójkąt prostokątny o bokach \(\displaystyle{ 24 , 25 , 7 }\) powiększymy 4 krotnie to otrzymamy
trójkąt prostokątny o wymiarach \(\displaystyle{ 96 , 100 , 28 }\), stąd : \(\displaystyle{ 9216 + 784 =10000. }\)
Podobna zależność z trójkąta pitagorejskiego , to trójkąt prostokątny ( powiększony 20 krotnie)
o wymiarach \(\displaystyle{ 80 , 100 , 60 }\), stąd : \(\displaystyle{ 6400 + 3600 =10000. }\)
Czy można do tego dojść inaczej ?
T.W.