Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:
"Dany jest trapez \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym \(\displaystyle{ AB \parallel CD, AB=BC}\) oraz miary kątów \(\displaystyle{ ABD, DBC, ADB}\) są w stosunku \(\displaystyle{ 3:1:5.}\) Wyznacz miary kątów trapezu."

Ale wiesz, że nie można wrzucać zadań z trwających konkursów? Z którego konkursu jest to zadanie?

JK

Ale to jest zadanie z finału, który odbył się kilka lat temu.

W takim razie OK (ale tak na przyszłość: lepiej to napisać, żeby nie było dwuznaczności).

JK

Z informacji o stosunku możemy powiedzieć, że kąt \(\displaystyle{ ABD=3x, DBC=x, ADB=5x}\). Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest równoramienny więc kąty \(\displaystyle{ BAC,BCA}\) są równe i wynoszą \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( 180-\left( x+3x\right) \right)=90-2x }\)
Niech \(\displaystyle{ E}\) oznacza punkt przecięcia przekątnych. Wówczas kąt \(\displaystyle{ AEB}\) wynosi \(\displaystyle{ 180-\left( 3x+\left( 90-2x\right) \right)=90-x }\). Kąty \(\displaystyle{ DEA}\) jest dopełnieniem do \(\displaystyle{ 180}\) kąta \(\displaystyle{ AEB}\) więc jego miara wynosi \(\displaystyle{ 180-\left( 90-x\right)=90+x }\). Kąt \(\displaystyle{ DAE}\) ma miarę \(\displaystyle{ 180-\left( 5x+\left( 90+x\right) \right)=90-6x }\). Z własności trapezu wiemy, że suma kątów \(\displaystyle{ BAD}\) i \(\displaystyle{ ADC}\) jest równa \(\displaystyle{ 180}\), zatem kąt \(\displaystyle{ EDC}\) ma miarę \(\displaystyle{ 180-\left( 5x+\left( 90-6x\right)+\left( 90-2x\right) \right)=3x }\). Z tej samej własności otrzymujemy, że kąt \(\displaystyle{ ECD}\) ma miarę \(\displaystyle{ 180-\left( 3x+x+\left( 90-2x\right) \right)=90-2x }\). Zatem kąty w trapezie są równe koleno (patrząc od \(\displaystyle{ DAB}\)) \(\displaystyle{ 180-8x,4x,180-4x,8x}\). I w sumie to chyba tyle, można by nałożyć jeszcze dziedzinę na \(\displaystyle{ x}\) żeby nie było że jakiś kąt jest ujemny albo większy niż \(\displaystyle{ 180}\).

Wydawało mi się, że można wyznaczyć konkretne wartości dla tych kątów.

Można oczywiście ale trzeba zastosować najlepiej twierdzenie sinusów daje to dość pokręcone równanie. ale dało się go rozwiązać:

\(\displaystyle{ \sin x \cdot \cos 2x \cdot \sin 5x= \left( \sin 3x \right)^2 \cdot \cos 6x}\)

Rozwiązanie dość niemiłe ale wychodzi...

Mi wyszło \(\displaystyle{ \sin(5x)=2\cdot\sin(3x)\cdot\cos(4x)}\). Może ktoś ma prostsze rozwiązanie bez równań trygonometrycznych?

Mi np. się to sprowadza do równania stopnia trzeciego co łatwo rozwiązać:

\(\displaystyle{ t=\cos x}\)

\(\displaystyle{ 64t^8-128t^6+80t^4-18t^2+1=0}\)

teraz:

\(\displaystyle{ t^2=z}\)

\(\displaystyle{ 64z^4-128z^3+80z^2-18z+1=0}\)

\(\displaystyle{ (2z-1)(32z^3-48z^2+16z-1)=0}\)

Z pierwszego nawiasu wychodzi:

\(\displaystyle{ 45^o}\)

I ten kąt nijak się niema do rozwiązania, a równanie stopnia trzeciego ma 3 rozwiązania, jedno jest większe od jeden - odpada,

Drugie około połowy a trzecie najmniejsze jest raczej rozwiązaniem...

Dodano po 1 minucie 38 sekundach: