Zadanie z konkursu Politechniki Warszawskiej
Zadanie z konkursu Politechniki Warszawskiej
Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:
"Dany jest trapez \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym \(\displaystyle{ AB \parallel CD, AB=BC}\) oraz miary kątów \(\displaystyle{ ABD, DBC, ADB}\) są w stosunku \(\displaystyle{ 3:1:5.}\) Wyznacz miary kątów trapezu."
"Dany jest trapez \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym \(\displaystyle{ AB \parallel CD, AB=BC}\) oraz miary kątów \(\displaystyle{ ABD, DBC, ADB}\) są w stosunku \(\displaystyle{ 3:1:5.}\) Wyznacz miary kątów trapezu."
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2023, o 16:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Zadanie z konkursu Politechniki Warszawskiej
Ale wiesz, że nie można wrzucać zadań z trwających konkursów? Z którego konkursu jest to zadanie?
JK
JK
Re: Zadanie z konkursu Politechniki Warszawskiej
Ale to jest zadanie z finału, który odbył się kilka lat temu.
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Zadanie z konkursu Politechniki Warszawskiej
W takim razie OK (ale tak na przyszłość: lepiej to napisać, żeby nie było dwuznaczności).
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 53
- Rejestracja: 21 sty 2019, o 03:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 4 razy
Re: Zadanie z konkursu Politechniki Warszawskiej
Z informacji o stosunku możemy powiedzieć, że kąt \(\displaystyle{ ABD=3x, DBC=x, ADB=5x}\). Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest równoramienny więc kąty \(\displaystyle{ BAC,BCA}\) są równe i wynoszą \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( 180-\left( x+3x\right) \right)=90-2x }\)
Niech \(\displaystyle{ E}\) oznacza punkt przecięcia przekątnych. Wówczas kąt \(\displaystyle{ AEB}\) wynosi \(\displaystyle{ 180-\left( 3x+\left( 90-2x\right) \right)=90-x }\). Kąty \(\displaystyle{ DEA}\) jest dopełnieniem do \(\displaystyle{ 180}\) kąta \(\displaystyle{ AEB}\) więc jego miara wynosi \(\displaystyle{ 180-\left( 90-x\right)=90+x }\). Kąt \(\displaystyle{ DAE}\) ma miarę \(\displaystyle{ 180-\left( 5x+\left( 90+x\right) \right)=90-6x }\). Z własności trapezu wiemy, że suma kątów \(\displaystyle{ BAD}\) i \(\displaystyle{ ADC}\) jest równa \(\displaystyle{ 180}\), zatem kąt \(\displaystyle{ EDC}\) ma miarę \(\displaystyle{ 180-\left( 5x+\left( 90-6x\right)+\left( 90-2x\right) \right)=3x }\). Z tej samej własności otrzymujemy, że kąt \(\displaystyle{ ECD}\) ma miarę \(\displaystyle{ 180-\left( 3x+x+\left( 90-2x\right) \right)=90-2x }\). Zatem kąty w trapezie są równe koleno (patrząc od \(\displaystyle{ DAB}\)) \(\displaystyle{ 180-8x,4x,180-4x,8x}\). I w sumie to chyba tyle, można by nałożyć jeszcze dziedzinę na \(\displaystyle{ x}\) żeby nie było że jakiś kąt jest ujemny albo większy niż \(\displaystyle{ 180}\).
Niech \(\displaystyle{ E}\) oznacza punkt przecięcia przekątnych. Wówczas kąt \(\displaystyle{ AEB}\) wynosi \(\displaystyle{ 180-\left( 3x+\left( 90-2x\right) \right)=90-x }\). Kąty \(\displaystyle{ DEA}\) jest dopełnieniem do \(\displaystyle{ 180}\) kąta \(\displaystyle{ AEB}\) więc jego miara wynosi \(\displaystyle{ 180-\left( 90-x\right)=90+x }\). Kąt \(\displaystyle{ DAE}\) ma miarę \(\displaystyle{ 180-\left( 5x+\left( 90+x\right) \right)=90-6x }\). Z własności trapezu wiemy, że suma kątów \(\displaystyle{ BAD}\) i \(\displaystyle{ ADC}\) jest równa \(\displaystyle{ 180}\), zatem kąt \(\displaystyle{ EDC}\) ma miarę \(\displaystyle{ 180-\left( 5x+\left( 90-6x\right)+\left( 90-2x\right) \right)=3x }\). Z tej samej własności otrzymujemy, że kąt \(\displaystyle{ ECD}\) ma miarę \(\displaystyle{ 180-\left( 3x+x+\left( 90-2x\right) \right)=90-2x }\). Zatem kąty w trapezie są równe koleno (patrząc od \(\displaystyle{ DAB}\)) \(\displaystyle{ 180-8x,4x,180-4x,8x}\). I w sumie to chyba tyle, można by nałożyć jeszcze dziedzinę na \(\displaystyle{ x}\) żeby nie było że jakiś kąt jest ujemny albo większy niż \(\displaystyle{ 180}\).
Re: Zadanie z konkursu Politechniki Warszawskiej
Wydawało mi się, że można wyznaczyć konkretne wartości dla tych kątów.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Zadanie z konkursu Politechniki Warszawskiej
Można oczywiście ale trzeba zastosować najlepiej twierdzenie sinusów daje to dość pokręcone równanie. ale dało się go rozwiązać:
\(\displaystyle{ \sin x \cdot \cos 2x \cdot \sin 5x= \left( \sin 3x \right)^2 \cdot \cos 6x}\)
Rozwiązanie dość niemiłe ale wychodzi...
\(\displaystyle{ \sin x \cdot \cos 2x \cdot \sin 5x= \left( \sin 3x \right)^2 \cdot \cos 6x}\)
Rozwiązanie dość niemiłe ale wychodzi...
Re: Zadanie z konkursu Politechniki Warszawskiej
Mi wyszło \(\displaystyle{ \sin(5x)=2\cdot\sin(3x)\cdot\cos(4x)}\). Może ktoś ma prostsze rozwiązanie bez równań trygonometrycznych?
Ostatnio zmieniony 3 kwie 2023, o 18:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Zadanie z konkursu Politechniki Warszawskiej
Mi np. się to sprowadza do równania stopnia trzeciego co łatwo rozwiązać:
\(\displaystyle{ t=\cos x}\)
\(\displaystyle{ 64t^8-128t^6+80t^4-18t^2+1=0}\)
teraz:
\(\displaystyle{ t^2=z}\)
\(\displaystyle{ 64z^4-128z^3+80z^2-18z+1=0}\)
\(\displaystyle{ (2z-1)(32z^3-48z^2+16z-1)=0}\)
Z pierwszego nawiasu wychodzi:
\(\displaystyle{ 45^o}\)
I ten kąt nijak się niema do rozwiązania, a równanie stopnia trzeciego ma 3 rozwiązania, jedno jest większe od jeden - odpada,
Drugie około połowy a trzecie najmniejsze jest raczej rozwiązaniem...
Dodano po 1 minucie 38 sekundach:
\(\displaystyle{ t=\cos x}\)
\(\displaystyle{ 64t^8-128t^6+80t^4-18t^2+1=0}\)
teraz:
\(\displaystyle{ t^2=z}\)
\(\displaystyle{ 64z^4-128z^3+80z^2-18z+1=0}\)
\(\displaystyle{ (2z-1)(32z^3-48z^2+16z-1)=0}\)
Z pierwszego nawiasu wychodzi:
\(\displaystyle{ 45^o}\)
I ten kąt nijak się niema do rozwiązania, a równanie stopnia trzeciego ma 3 rozwiązania, jedno jest większe od jeden - odpada,
Drugie około połowy a trzecie najmniejsze jest raczej rozwiązaniem...
Dodano po 1 minucie 38 sekundach:
Kod: Zaznacz cały
www.wolframalpha.com/input?i=32z%5E3-48z%5E2%2B16z-1%3D0