zadania o trapezie opisanym na okręgu

dupakaka · Post autor: **dupakaka** » 10 sty 2010, o 16:12

1. Dany jest trapez równoramienny ABCD opisany na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) . Punkt styczności dzieli ramię tego trapezu w stosunku 1 : 2.
a) Oblicz pole tego trapezu.
b) Wyznacz długość przekątnej tego trapezu.

2. Dany jest trapez równoramienny ABCD, gdzie AB||CD oraz |AB|=3|CD|.
a) Oblicz pole i obwód tego trapezu wiedząc, że |AB|=18 i |AC|=13.
b) Udowodnij, że przekątne trapezu dzielą odcinek łączący środki jego ramion w stosunku
1 : 2 : 1.

w pierwszym nie wiem co robić. robię rysunek i nie potrafię zrobić nic dalej. w drugim wyszło mi Pole=\(\displaystyle{ 60}\) i Obw=\(\displaystyle{ 2 \sqrt{61} +24}\). Natomiast za podpunkt b nie wiem jak się zabrać.

Proszę o jakieś wskazówki

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 10 sty 2010, o 17:52

1. Trójkąt wyznaczony przez srodek okręgu i końce jednego ramienia jest prostokątny.
x; 2x - odcinki na jakie podzielone jest ramię punktem styczności

Zachodzi :
\(\displaystyle{ (\sqrt 2 )^2=x\cdot 2x}\)

dupakaka · Post autor: **dupakaka** » 10 sty 2010, o 18:59

a skąd się to wzięło? bo nie mam pojęcia

narysowałem i też nie wiem

edit: ramiona oczywiście podzielone na x i 2x (za małe i może nie widać)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 10 sty 2010, o 19:08

Środek okręgu leży na dwusiecznych kątów wewnętrznych trapezu; suma miar kątów przy jednym ramieniu to 180.

Zatem promień okręgu jest wysokością trójkąta prostokątnego poprowadzoną do przeciwprostokątnej - a ona (np z podobieństwa trójkątów) podniesiona do kwadratu jest równa iloczynowi długości odcinków na jakie dzieli przeciwprostokątną.

dupakaka · Post autor: **dupakaka** » 10 sty 2010, o 19:36

ok podpunkt a rozumiem, pole wyszło 6. zgadza się?

a przekątną jak wyliczyć? 2 razy z twierdzenia kosinusów? próbowałem policzyć ale wychodził mi kosinus na minusie, a dla kąta ostrego nie może być taki

co do zadania drugiego podpunkt b, masz jakieś wskazówki?

wielkie dzięki za pomoc

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 10 sty 2010, o 19:39

Przekątna (z Pitagorasa) : przekątna; wysokość trapezu; kawałek dolnej podstawy (znając górną i dolną można go wyznaczyć).

dupakaka · Post autor: **dupakaka** » 10 sty 2010, o 21:42

Mógłbyś napisać ile Ci wyszło?

przekątna \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{34} }{2}}\) , Pole 6

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 10 sty 2010, o 21:48

Przecież wcześniej tego nie robiłem.

Teraz mam inaczej niż Ty, podpowiedź : ramię 3; podstawy 2 i 4.

norbert92 · Post autor: **norbert92** » 2 lut 2011, o 18:03

odswieze temacik, majac ramie rowne 3 jak wyliczyc bole?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 2 lut 2011, o 20:38

norbert92 pisze:odswieze temacik, majac ramie rowne 3 jak wyliczyc bole?

Powiązać (równanie) obie podstawy i Pitagoras.

philips92 · Post autor: **philips92** » 21 lut 2011, o 19:08

hej, czy pole czasem nie wychodzi \(\displaystyle{ 6 \cdot \sqrt{2}}\)?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 21 lut 2011, o 22:14

Wychodzi.

kiler7 · Post autor: **kiler7** » 1 mar 2011, o 10:53

pomoze ktoś w zadaniu 1 podpunkt a)

Dlugość ramienia obliczyłem rowna sie = 3

ale za nic i z niczego nie moge obliczyc dlugosci podstaw jak to obliczyć?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 1 mar 2011, o 11:54

piasek101 pisze:Środek okręgu leży na dwusiecznych kątów wewnętrznych trapezu ...

Z tego i tw o odcinkach leżących na stycznych podstawy to (2x) i (4x).

kiler7 · Post autor: **kiler7** » 1 mar 2011, o 12:47

piasek101 pisze:
piasek101 pisze:Środek okręgu leży na dwusiecznych kątów wewnętrznych trapezu ...
Z tego i tw o odcinkach leżących na stycznych podstawy to (2x) i (4x).

Mogłby troszke jaśniej bo nie znalazłem i nie znam takiego twierdzenia.
Rozpisał byś mi ten przypdek albo podal te twierdzenie?
dzieki