Byłabym wdzięczna, gdyby ktoś mi pomógł zrobić zadanie. Oto treść:
Dany jest równoległobok ABCD o kącie między bokami 60 stopni. Stosunek kwadratów długości przekatnych jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). Wykaż, że ten równoległobok jest rombem.
wykazać, że równoległobok jest rombem
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
wykazać, że równoległobok jest rombem
Kod: Zaznacz cały
http://wstaw.org/h/f54d313d7bc/
Wyznaczam wysokość równoległoboku
\(\displaystyle{ sin60^o= \frac{h}{b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}= \frac{h}{b}}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{b \sqrt{3} }{2}}\)
Wyznaczam \(\displaystyle{ e}\)
\(\displaystyle{ \frac{f^2}{e^2} = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ e=f \sqrt{3}}\)
Wyznaczam pole
\(\displaystyle{ P=ah=a \cdot \frac{b \sqrt{3} }{2} = \frac{ab \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{ef sin\alpha}{2}= \frac{f \sqrt{3} \cdot f \cdot sin\alpha }{2}= \frac{f^2 \sqrt{3} sin\alpha }{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ab \sqrt{3} }{2}=\frac{f^2 \sqrt{3} sin\alpha }{2}}\)
\(\displaystyle{ ab=f^2sin\alpha}\)
Z Pitagorasa dla trójkąta FBD
\(\displaystyle{ f^2-(a- \frac{1}{2} b)^2=h^}\)2
Z Pitagorasa dla trójkąta AGC
\(\displaystyle{ e^2-(a+ \frac{1}{2} b)^2=h^2}\)
\(\displaystyle{ f^2-(a- \frac{1}{2} b)^2=e^2-(a+ \frac{1}{2} b)^2}\)
Po podstawieniu \(\displaystyle{ e=f \sqrt{3}}\) i uproszczeniach wyjdzie
\(\displaystyle{ ab=f^2}\)
\(\displaystyle{ ab=f^2sin\alpha}\) i \(\displaystyle{ ab=f^2}\)
\(\displaystyle{ f^2sin\alpha=f^2}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha=1}\)
\(\displaystyle{ \alpha=90^o}\)
Równoległobok,który ma prostopadłe przekątne jest rombem