Matematyka.pl

Wykaż, że środek okręgu wpisanego w trójkąt leży najbliżej wierzchołka największego kąta w tym trójkącie.

Proszę o pomoc w rozwiązaniu powyższego zadania

Rysunek.
Środek leży na dwusiecznych kątów w jednakowej odległości od wszystkich boków.
Zobacz trójkąty prostokątne z szukaną odległością (x) od wierzchołka i kątem ostrym bedącym połową kata trójkąta.

Zauważ, że \(\displaystyle{ x=\frac{r}{sin\alpha}}\).

///////// POMYLILEM TRESC ZADANIA, PRZEPRASZAM //////////////// JUz niewazne


Hmm wytlumaczcie mi cos.

Moj tok rozumowania jest następujący:

Jeżeli oznaczymy x,y,z jako odległości kolejno każdego z wierzchołków trójkąta od srodka koła w niego wpisanego:

\(\displaystyle{ x=\frac{r}{sin \frac{1}{2} \alpha}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{r}{sin \frac{1}{2} \gamma}}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{r}{sin \frac{1}{2} \beta }}\)

Wnioskuje ze ta odleglosc bedzie najwieksza dla najmniejszego sinusa.
Patrzac na wykres sinusa mamy, ze jezeli trojkat bedzie ostrokatny to odleglosc bedzie najwieksza dla najmniejszego kąta.

Prawidłowo?