Wielokąt bicentryczny

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13539
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3436 razy
Pomógł: 812 razy

Wielokąt bicentryczny

Post autor: mol_ksiazkowy »

Wielokąt bicentryczny to taki wielokąt, że można zarówno wpisać weń okrąg, jak i opisać na nim okrąg. Środki obu okręgów nie muszą się pokrywać, i w przypadku wielokątów nieforemnych nie pokrywają się, stąd nazwa bicentryczny – o dwóch środkach.
Wskazać czworokąt bicentryczny o bokach różnej długości i o możliwie najmniejszym obwodzie, objaśnić czy deltoidy są bicentryczne i wykazać iż pole takich czworokątów jest równe \(\displaystyle{ \sqrt{abcd} }\).
Przedstawić kolejne własności takich wielokątów.
arek1357

Re: Wielokąt bicentryczny

Post autor: arek1357 »

Wzór z pola wynika wprost z tw. Brahmaputry: i związków między bokami dla czworokątów, , w których można wpisać kółko...
a mianowicie mamy:

(*) \(\displaystyle{ P= \frac{1}{4} \sqrt{\left( -a+b+c+d\right)\left( a-b+c+d\right)\left( a+b-c+d\right)\left( a+b+c-d\right) } }\)

oraz:

\(\displaystyle{ a+c=b+d}\)

\(\displaystyle{ d=a+c-b}\)

wystarczy to za d podstawić do (*) i otrzymamy:

\(\displaystyle{ P= \frac{4}{4} \sqrt{abcd} = \sqrt{abcd} }\)
ODPOWIEDZ