Matematyka.pl

W trójkącie \(\displaystyle{ EFG}\) kąt prosty leży przy wierzchołku \(\displaystyle{ G}\) oraz \(\displaystyle{ |EG|=f,|EF|=g}\). Dwusieczna kąta wewnętrznego przy wierzchołku \(\displaystyle{ E}\) przecięła w punkcie \(\displaystyle{ P}\) prostą prostopadłą do boku \(\displaystyle{ EF}\) i przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ G}\). Wykaż, że odległość punktu \(\displaystyle{ P}\) od boku \(\displaystyle{ FG}\) jest równa \(\displaystyle{ g-f}\).

Nie wiem dlaczego, ale cały czas mi wychodzi inaczej to znaczy wychodzi mi, że ta odległość to \(\displaystyle{ \frac{f}{g}(g-f) }\). Oto mój tok rozumowania: Oznaczmy punkt wspólny tej dwusiecznej i boku \(\displaystyle{ FG}\) przez \(\displaystyle{ M}\). Oznaczmy \(\displaystyle{ MG=t}\) i \(\displaystyle{ MF=s}\). Z twierdzenia o dwusiecznej dla tego całego trójkąta mamy, że \(\displaystyle{ \frac{t}{f}= \frac{s}{g} }\) i mamy też z Pitagorasa, że \(\displaystyle{ s+t= \sqrt{g^2-f^2} }\) z tego po przekształceniach otrzymujemy \(\displaystyle{ t= \frac{ \sqrt{g^2-f^2} \cdot f }{f+g} }\). Oznaczmy punkt wspólny prostej \(\displaystyle{ PG}\) i boku \(\displaystyle{ EF}\) przez \(\displaystyle{ N}\). Oznaczmy, że \(\displaystyle{ PN=z}\) i \(\displaystyle{ NE=w}\). Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ MGE}\) i \(\displaystyle{ PNE}\) mamy, że \(\displaystyle{ \frac{t}{f}= \frac{z}{w} }\). Oznaczmy \(\displaystyle{ PG=y}\). W końcu z twierdzenia o dwusiecznej w trójkącie \(\displaystyle{ GNE}\) mamy, że \(\displaystyle{ \frac{y}{f}= \frac{z}{w} }\). Z przyrównania tego otrzymujemy, że \(\displaystyle{ t=y}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ K}\) spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka \(\displaystyle{ P}\) na bok \(\displaystyle{ MG}\). Odcinek szukany to \(\displaystyle{ PK}\) i oznaczmy go przez \(\displaystyle{ x}\). Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ PKG}\) i \(\displaystyle{ FGE}\) mamy, że \(\displaystyle{ \frac{x}{y}= \frac{ \sqrt{g^2-f^2} }{g} }\). Podstawiając teraz do tego wcześniej obliczone \(\displaystyle{ y= \frac{ \sqrt{g^2-f^2} \cdot f }{f+g}}\) i przekształceniu otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x= \frac{f}{g}(g-f) }\). No i czy tak jest dobrze, czy robię gdzieś błąd? Bo wynik wychodzi inny niż w tezie. Jeśli też jest jakieś prostsze rozwiązanie to proszę o komentarz.

Dodano po 13 godzinach 42 minutach 39 sekundach:
Czy może mi ktoś z tym pomóc?

Dodano po 7 minutach 29 sekundach:
Albo chociaż powiedzcie mi czy powinno wyjść \(\displaystyle{ g-f}\) czy \(\displaystyle{ \frac{f}{g}(g-f) }\).

Wybierz sobie np `f=2,g=1`, zrób rysunek i sprawdź

max123321 pisze: ↑25 lis 2022, o 13:30
Albo chociaż powiedzcie mi czy powinno wyjść \(\displaystyle{ g-f}\) czy \(\displaystyle{ \frac{f}{g}(g-f) }\).

\(\displaystyle{ \frac{f}{g}(g-f) }\)

A czy może ktoś potwierdzić, czy ten dowód, który napisałem jest poprawny?

potwierdzam