Matematyka.pl

W trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\) o podstawach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przez punkt \(\displaystyle{ O}\) przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AD}\). Prosta równoległa do boku \(\displaystyle{ BC}\) przecina bok \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ B'}\), a prosta równoległa do boku \(\displaystyle{ AD}\) przecina bok \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ A'}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ |AA'|=|BB'|}\).

Jak rozwiązać to zadanie ANALITYCZNIE? Może mi ktoś pomóc?

max123321 pisze: ↑13 lis 2023, o 21:24 Jak rozwiązać to zadanie ANALITYCZNIE?

Czemu analitycznie? Elementarne rozstrzygnięcie, oparte na połówkach odcinka średniej harmonicznej, jest natychmiastowe!

Pozdrawiam

Ja rozumiem, ale chcę zrobić to zadanie analitycznie bo ponoć się da. Syntetycznie to wiem jak.

Dodano po 12 godzinach 57 minutach 31 sekundach:
Czy może mi ktoś pomóc tutaj z tym rozwiązaniem analitycznym?

W układzie współrzędnych \(\displaystyle{ Oxy }\) umieszczamy trapez \(\displaystyle{ ABCD,}\) przyjmując \(\displaystyle{ A(0,0),\ \ B(x_{B}, 0),\ \ C(x_{C},y_{C}), \ \ D(x_{D},y_{D}),}\) przy czym \(\displaystyle{ y_{C} = y_{D}. }\)

Znajdujemy równania prostych \(\displaystyle{ \overline{AD}, \overline{BC}.}\)

Znajdujemy równania prostych: \(\displaystyle{ \overline{AC}, \overline{BD}. }\)

Obliczamy współrzędne punktu \(\displaystyle{ O(x_{0}, y_{0}) }\) przecięcia prostych \(\displaystyle{ \overline{AC}, \overline{BD}. }\)

Znajdujemy równanie prostej \(\displaystyle{ \overline{A'O} }\) - prostej równoległej do prostej \(\displaystyle{ \overline{AD} }\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ O(x_{0}, y_{0}).}\)

Znajdujemy równanie prostej \(\displaystyle{ \overline{B'O} }\) - prostej równoległej do prostej \(\displaystyle{ \overline{BC} }\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ O(x_{0}, y_{0}).}\)

Obliczamy współrzędne punktów \(\displaystyle{ A' }\) i \(\displaystyle{ B' }\) - przecięcia prostych odpowiednio \(\displaystyle{ \overline{A'O} }\) i \(\displaystyle{ \overline{B'O} }\) z osią \(\displaystyle{ Ox.}\)

Sprawdzamy równość długości odcinków \(\displaystyle{ |AA'| }\) i \(\displaystyle{ |BB'|. }\)

Próbuję tak:
Początek układu współrzędnych przyjmuje jako punkt przecięcia się przekątnych trapezu. Współrzędne punktów \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) przyjmuje odpowiednio następujące: \(\displaystyle{ (a,h),(b,h),(c,1),(d,1)}\). No i teraz znajduję prostą przechodzącą przez \(\displaystyle{ O}\) i \(\displaystyle{ B'}\) ma ona równanie: \(\displaystyle{ y= \frac{1-h}{c-b}x }\) i znajduję prostą przechodzącą przez \(\displaystyle{ O}\) i \(\displaystyle{ A'}\) ma ona równanie \(\displaystyle{ y= \frac{1-h}{d-a}x }\). Teraz znajduje współrzędną \(\displaystyle{ x_{B'}}\) z przyrównania równań prostej \(\displaystyle{ OB'}\) i \(\displaystyle{ y=h}\) otrzymując \(\displaystyle{ x_{B'}= \frac{h(c-b)}{1-h} }\) i analogicznie znajduję współrzędną \(\displaystyle{ x_{A'}= \frac{h(d-a)}{1-h} }\). Teraz znajduję długość \(\displaystyle{ BB'}\) równą \(\displaystyle{ |BB'|=b- \frac{h(c-b)}{1-h} }\) i długość \(\displaystyle{ AA'}\) równą \(\displaystyle{ |AA'|= \frac{h(d-a)}{1-h}-a }\). No i teraz jeśli te dwie długości miałyby być równe jak w tezie to zachodziłby następujący warunek wynikający z przyrównania długości tych odcinków: \(\displaystyle{ a+b=h(c+d)}\), ale za nic nie wiem czemu by to miało zachodzić. Może mi ktoś tu pomóc?

Dodano po 3 godzinach 27 minutach 7 sekundach:
Może się ktoś wypowiedzieć?

Może zobaczysz tu.
Przez punkt \(\displaystyle{ O}\) prowadzisz odcinek \(\displaystyle{ EF}\) równoległy do podstaw trapezu (niech \(\displaystyle{ E}\) leży na \(\displaystyle{ BC}\), a \(\displaystyle{ F}\) na \(\displaystyle{ AD}\)).
Trójkąty \(\displaystyle{ ABD}\) oraz \(\displaystyle{ FOD}\) są podobne - skala podobieństwa to \(\displaystyle{ |AB|:|FO|}\).
Trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) oraz \(\displaystyle{ CEO}\) są podobne ...

I może dojdziesz dlaczego te skale są jednakowe.

Piasek, ja rozumiem, ale chodziło mi tutaj o rozwiązanie analityczne, a nie geometryczne. Czy możesz sprawdzić to rozwiązanie, które napisałem i powiedzieć mi, gdzie robię błąd?

Dodano po 5 minutach 34 sekundach:
Chociaż jak tak teraz myślę, to to ma sens, bo trójkąty \(\displaystyle{ ABO}\) i \(\displaystyle{ COD}\) są podobne w skali \(\displaystyle{ \frac{h}{1}= \frac{|AB|}{|CD|} }\), tylko, że \(\displaystyle{ |AB|=b-a}\) oraz \(\displaystyle{ |CD|=c-d}\), a mi tam wychodzą sumy, a nie różnice. Co jest nie tak?