Na średnicy \(\displaystyle{ AB}\) okręgu o środku \(\displaystyle{ O}\) i promieniu \(\displaystyle{ R}\) leży punkt \(\displaystyle{ M}\). Cięciwa \(\displaystyle{ CD}\) przecina średnicę w \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ M}\), przy czym kąt \(\displaystyle{ CMA}\) jest równy \(\displaystyle{ 45}\) stopni.
Wykaż, że
\(\displaystyle{
CM^{2}+ MD^{2}=2R^{2}.
}\)
Udowodnić zależność
Udowodnić zależność
Ostatnio zmieniony 7 mar 2023, o 10:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
piasek101
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Udowodnić zależność
W skrócie.
Oznaczmy \(\displaystyle{ |MD|=x}\); \(\displaystyle{ |CM|=y}\); \(\displaystyle{ |MO|=z}\).
Do wykazania jest \(\displaystyle{ x^2+y^2=2R^2}\).
Z twierdzeń cosinusów w trójkątach \(\displaystyle{ OMD}\) (tu przyjąłem dany kąt ostry) i \(\displaystyle{ OMC}\) mamy
\(\displaystyle{ R^2=x^2+z^2-\sqrt 2 xz}\) oraz \(\displaystyle{ R^2=y^2+z^2+\sqrt 2 yz}\), wyznaczamy z tego \(\displaystyle{ z=0,5\sqrt 2|x-y|}\).
Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ CMA}\) i \(\displaystyle{ MBD}\) jest \(\displaystyle{ R^2=xy+z^2}\). Do ostatniego wstawiamy przedostatnie i otrzymujemy tezę.
Oznaczmy \(\displaystyle{ |MD|=x}\); \(\displaystyle{ |CM|=y}\); \(\displaystyle{ |MO|=z}\).
Do wykazania jest \(\displaystyle{ x^2+y^2=2R^2}\).
Z twierdzeń cosinusów w trójkątach \(\displaystyle{ OMD}\) (tu przyjąłem dany kąt ostry) i \(\displaystyle{ OMC}\) mamy
\(\displaystyle{ R^2=x^2+z^2-\sqrt 2 xz}\) oraz \(\displaystyle{ R^2=y^2+z^2+\sqrt 2 yz}\), wyznaczamy z tego \(\displaystyle{ z=0,5\sqrt 2|x-y|}\).
Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ CMA}\) i \(\displaystyle{ MBD}\) jest \(\displaystyle{ R^2=xy+z^2}\). Do ostatniego wstawiamy przedostatnie i otrzymujemy tezę.