Udowadnianie stosunku
Udowadnianie stosunku
Przekątna trapezy równoramiennego tworzy z dłuższą podstawą i ramieniem trapezu kąty o wspólnym wierzchołku równe odpowiednio 2alfa, 3 alfa. Wykaż, że stosunek długości dłuższej podstawy do długości krótszej podstawy trapezu jest równy k= sin 7alfa / sin 3alfa
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Udowadnianie stosunku
\(\displaystyle{ tg2\alpha= \frac{h}{AF} = \frac{h}{a- \frac{a-b}{2} } = \frac{h}{ \frac{a+b}{2} }}\)
Stąd
\(\displaystyle{ h= \frac{a+b}{2} tg2\alpha}\)
Z trójkąta AED
\(\displaystyle{ tg5\alpha= \frac{h}{AE} = \frac{h}{ \frac{a-b}{2} }}\)
Stąd
\(\displaystyle{ h= \frac{a-b}{2} tg5\alpha}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} tg2\alpha=\frac{a-b}{2} tg5\alpha}\)
Po przekształceniach i zastosowaniu wzorów na sumę i różnicę tangesnów otrzymujemy:
\(\displaystyle{ asin3\alpha=bsin7\alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{sin7\alpha}{sin3\alpha}}\)