Matematyka.pl

Obliczyć pole obszaru zawartego między trzema stycznymi zewnętrznie okręgami o promieniach \(\displaystyle{ r_1 =1, \ r_2=2 , \ r_3=3.}\)

Rys.
Zgodnie z treścią zadania: \(\displaystyle{ O_{1}O_{2} = 5 , \ \ O_{2}O_{3}= 3, \ \ O_{1}O_{3}= 4.}\)

Z twierdzenia kosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ O_{1}O_{2}O_{3} }\) znajdujemy kosinusy kątów w tym trójkącie.

Obliczamy pole trójkąta \(\displaystyle{ O_{1}O_{2}O_{3} }\) ze wzoru Herona.

Obliczamy pola wycinków kół \(\displaystyle{ AO_{1}C, \ \ AO_{2}B, \ \ BO_{3}C. }\)

Od pola trójkąta odejmujemy pola wycinków kół.

Dodano po 59 minutach 32 sekundach:

\(\displaystyle{ \cos(|\angle O_{3}O_{1}O_{2}|)=0,8 , \ \ \cos(|\angle O_{1}O_{2}O_{2}|) = 0,6, \ \ \cos(|\angle O_{2}O_{3}O_{1}|)= 0 }\)

Trójkąt \(\displaystyle{ O_{1} O_{2}O_{3} }\) jest trójkątem prostokątnym.

Pole trójkąta \(\displaystyle{ O_{1}O_{2}O_{3}, \ \ S = \sqrt{36}=6. }\)

Pola wycinków kół:

\(\displaystyle{ |AO_{1}C|= 0,9\pi , \ \ |AO_{2}B| = 0,4\pi, \ \ |BO_{3}C |= 0,25 \pi. }\)

Pole obszaru zawartego między trzema stycznymi zewnętrznie okręgami:

\(\displaystyle{ P = 6 - (0,9\pi + 0,4\pi + 0,25\pi) = 6 -1,55\pi \approx 1,13.}\)