Matematyka.pl

Na płaszczyźnie dane są dowolne punkty \(\displaystyle{ A, B, C, D}\). Czy istnieje punkt \(\displaystyle{ X}\) taki, że trójkąty \(\displaystyle{ ABX}\) i \(\displaystyle{ CDX}\) są podobne

Wystarczy wziąć punkty współliniowe \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) takie, że \(\displaystyle{ AB\neq CD}\). Jeśli natomiast założyć, że proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinają się, to podzielę się pomysłem, chociaż jest on jeszcze może niedopracowany.

Załóżmy, że proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\) pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) - w tym miejscu trzeba wybrać jeden z dwóch możliwych kątów: wybieramy ten kąt, dla którego półproste \(\displaystyle{ A_lB_l}\) oraz \(\displaystyle{ C_lD_l}\) określone niżej będą przeciwnie zorientowane.

Znajdujemy kąt \(\displaystyle{ \beta<\alpha}\) taki, że
\(\displaystyle{ \frac{\sin\beta}{\sin(\alpha-\beta)}=\frac{AB}{CD}=:k}\).
Przez punkt \(\displaystyle{ S}\) prowadzimy prostą \(\displaystyle{ l}\) odchyloną od prostej \(\displaystyle{ AB}\) o kąt \(\displaystyle{ \beta}\).

Na prostej \(\displaystyle{ l}\) znajdujemy punkty \(\displaystyle{ A_l, B_l, C_l, D_l}\) takie, że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rzutami prostokątnymi \(\displaystyle{ A_l}\) i \(\displaystyle{ B_l}\) na prostą \(\displaystyle{ AB}\), zaś \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) są rzutami prostokątnymi \(\displaystyle{ C_l}\) i \(\displaystyle{ D_l}\) na prostą \(\displaystyle{ CD}\).

Jeśli \(\displaystyle{ A_l=C_l}\), to jest on szukanym punktem \(\displaystyle{ X}\). W przeciwnym razie określamy funkcję \(\displaystyle{ f}\) dla punktów prostej \(\displaystyle{ l}\) (o wartościach rzeczywistych) wzorem \(\displaystyle{ f(X)=\varphi(P_X)-\psi(Q_X)}\), gdzie

\(\displaystyle{ P_X}\) to rzut prostokątny punktu \(\displaystyle{ X}\) na prostą \(\displaystyle{ AB}\);
\(\displaystyle{ Q_X}\) to rzut prostokątny punktu \(\displaystyle{ X}\) na prostą \(\displaystyle{ CD}\);
\(\displaystyle{ \varphi(P)=\pm\frac{ PA}{AB}}\), przy czym wartości są dodatnie dla punktów półprostej \(\displaystyle{ AB}\);
\(\displaystyle{ \psi(Q)=\pm\frac{ QC}{CD}}\), przy czym wartości są dodatnie dla punktów półprostej \(\displaystyle{ CD}\).

Wówczas funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła i ma różne znaki w punktach \(\displaystyle{ A_l}\) i \(\displaystyle{ C_l}\), więc istnieje punkt \(\displaystyle{ X}\) na odcinku \(\displaystyle{ A_lC_l}\) taki, że \(\displaystyle{ f(X)=0}\). Trójkąty \(\displaystyle{ ABX}\) i \(\displaystyle{ CDX}\) są podobne.