Trójkąt o wysokościach
-
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
Trójkąt o wysokościach
Wykaż, że trójkąt o wysokościach \(\displaystyle{ 12, 15}\) i \(\displaystyle{ 20}\) jest trójkątem prostokątnym.
Proszę o sprawdzenie poniższego dowodu:
Zakładam, że przyprostokątne to \(\displaystyle{ 20}\) i \(\displaystyle{ 15}\), a wysokość \(\displaystyle{ 12}\). Wtedy \(\displaystyle{ 15^{2}+20 ^{2}=25 ^{2}}\). Wysokość \(\displaystyle{ 12}\) podzieli ten trójkąt na \(\displaystyle{ 2}\) trójkąty prostokątne. A więc \(\displaystyle{ 15 ^{2}-12 ^{2}=9 ^{2}}\) i \(\displaystyle{ 20^{2}-12 ^{2}=16 ^{2}}\). Otrzymujemy zatem boki \(\displaystyle{ 16}\) i \(\displaystyle{ 9}\) które w sumie dają \(\displaystyle{ 25}\) co podniesione do kwadratu daje \(\displaystyle{ 25 ^{2}}\). Zatem trójkąt jest prostokątny.
Proszę o sprawdzenie poniższego dowodu:
Zakładam, że przyprostokątne to \(\displaystyle{ 20}\) i \(\displaystyle{ 15}\), a wysokość \(\displaystyle{ 12}\). Wtedy \(\displaystyle{ 15^{2}+20 ^{2}=25 ^{2}}\). Wysokość \(\displaystyle{ 12}\) podzieli ten trójkąt na \(\displaystyle{ 2}\) trójkąty prostokątne. A więc \(\displaystyle{ 15 ^{2}-12 ^{2}=9 ^{2}}\) i \(\displaystyle{ 20^{2}-12 ^{2}=16 ^{2}}\). Otrzymujemy zatem boki \(\displaystyle{ 16}\) i \(\displaystyle{ 9}\) które w sumie dają \(\displaystyle{ 25}\) co podniesione do kwadratu daje \(\displaystyle{ 25 ^{2}}\). Zatem trójkąt jest prostokątny.
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
Trójkąt o wysokościach
Według mnie jest źle, bo wychodzisz od tezy. Zakładasz sobie, że \(\displaystyle{ 20}\) oraz \(\displaystyle{ 15}\) to przyprostokątne, a to właśnie masz chyba wykazać.
-
- Użytkownik
- Posty: 1371
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 14:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 14 razy
Trójkąt o wysokościach
A czemu źle? To może inaczej. Jeśli boki trójkąta spełniają zależność \(\displaystyle{ a^{2}+b ^{2}=c ^{2}}\) to taki trójkąt jest prostokątny. Zatem jeśli zbuduję trójkąt prostokątny o bokach \(\displaystyle{ x,12,15,}\) gdzie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ 12}\) to przyprostokątne, a \(\displaystyle{ 15}\) przeciwprostokątna i drugi o bokach \(\displaystyle{ y,12,20}\) o analogicznych oznaczeniach to jeśli złożę potem te trójkąty w całość wysokością \(\displaystyle{ 12,}\) tak, że \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) będą tworzyć jeden bok to jeśli okaże się, że \(\displaystyle{ 15 ^{2}+20 ^{2}=\left( x+y\right) ^{2}}\) to będzie to oznaczać, że trójkąt jest prostokątny, a tak tu właśnie jest. Zgadza się czy nie?
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
Trójkąt o wysokościach
Bo z miejsca zakładasz, że masz trójkąt prostokątny, który dzielisz na dwa prostokątne. To jest złe. Musisz narysować sobie trójkąt (dowolny) i dopiero wykazać, że jest prostokątny.
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Trójkąt o wysokościach
Tu już jest dobrze, bo każdy trójkąt jest sumą lub różnicą dwóch trójkątów prostokątnych.Dario1 pisze:A czemu źle? To może inaczej. Jeśli boki trójkąta spełniają zależność \(\displaystyle{ a^{2}+b ^{2}=c ^{2}}\) to taki trójkąt jest prostokątny. Zatem jeśli zbuduję trójkąt prostokątny o bokach \(\displaystyle{ x,12,15,}\) gdzie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ 12}\) to przyprostokątne, a \(\displaystyle{ 15}\) przeciwprostokątna i drugi o bokach \(\displaystyle{ y,12,20}\) o analogicznych oznaczeniach to jeśli złożę potem te trójkąty w całość wysokością \(\displaystyle{ 12,}\) tak, że \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) będą tworzyć jeden bok to jeśli okaże się, że \(\displaystyle{ 15 ^{2}+20 ^{2}=\left( x+y\right) ^{2}}\) to będzie to oznaczać, że trójkąt jest prostokątny, a tak tu właśnie jest. Zgadza się czy nie?
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
Trójkąt o wysokościach
Ze wskazówki a4karo:
\(\displaystyle{ 2S=ah_a=bh_b=ch_c \\ 12a=15b=20c}\)
Z tej równości wnioskujemy, że najdłuższy jest bok \(\displaystyle{ a}\), więc powinno zachodzić:
\(\displaystyle{ b^2+c^2=a^2 \\ \left( \frac{12}{15} a\right)^2 + \left( \frac{12}{20} a\right)^2 = a^2}\)
I faktycznie zachodzi.
\(\displaystyle{ 2S=ah_a=bh_b=ch_c \\ 12a=15b=20c}\)
Z tej równości wnioskujemy, że najdłuższy jest bok \(\displaystyle{ a}\), więc powinno zachodzić:
\(\displaystyle{ b^2+c^2=a^2 \\ \left( \frac{12}{15} a\right)^2 + \left( \frac{12}{20} a\right)^2 = a^2}\)
I faktycznie zachodzi.
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Trójkąt o wysokościach
Nie prawda.mortan517 pisze:Bo z miejsca zakładasz, że masz trójkąt prostokątny, który dzielisz na dwa prostokątne.
W dowodzie z postu z 26 lip 2015, o 20:55 konstruuje trójkąt będący sumą dwóch trójkątów prostokątnych i stwierdza, że ta suma też jest trójkątem prostokątnym.
Dowód należy uznać za poprawny. Oczywiście możliwe są też inne dowody, np. ten wskazany przez A4karo.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Trójkąt o wysokościach
SlotaWoj pisze:Nie prawda.mortan517 pisze:Bo z miejsca zakładasz, że masz trójkąt prostokątny, który dzielisz na dwa prostokątne.
W dowodzie z postu z 26 lip 2015, o 20:55 konstruuje trójkąt będący sumą dwóch trójkątów prostokątnych i stwierdza, że ta suma też jest trójkątem prostokątnym.
Dowód należy uznać za poprawny. Oczywiście możliwe są też inne dowody, np. ten wskazany przez A4karo.
Stwierdzenie mortan517 odnosiło się do pytania "A czemu źle?" i jest w pełni zasadne. bo pierwszy dowód był skopany. To, że po pytaniu podano inny, poprawny dowód, nie zmienia tego faktu.