Matematyka.pl

Trapez równoramienny \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisano w okrąg tak, że dłuższa podstawa jest średnicą tego okręgu. Stosunek obwodu trapezu do sumy długości jego podstaw wynosi \(\displaystyle{ 1,5}\). Wykaż, że cosinus kąta ostrego trapezu jest równy\(\displaystyle{ \sqrt{2}- 1}\).
Na tę chwilę ustaliłem, że \(\displaystyle{ a+b=4c}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to podstawy trapezu, a \(\displaystyle{ c}\) jego ramię i że ramię trapezu jest prostopadłe do jednej z przekątnych, co przybliża mnie do znalezienia potrzebnego cosinusa. Ale dalej stoję... Pomoże ktoś?

Np tak :
- trapez \(\displaystyle{ ABCD}\) gdzie \(\displaystyle{ AB||CD}\) oraz \(\displaystyle{ AB}\) jest średnicą okręgu.
- prowadzisz wysokość trapezu \(\displaystyle{ DE}\)
- trójkąt \(\displaystyle{ ABD}\) jest prostokątny (bo odpowiednie wpisanie trapezu w okrąg)
- oznaczmy \(\displaystyle{ |AB|= a}\); \(\displaystyle{ |CD|= b}\); \(\displaystyle{ |AD|= c}\); \(\displaystyle{ |AE|=x}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ a+b=4c}\) to odcinek \(\displaystyle{ |EB|= 0,5(a+b) = 2c}\).

Szukane to : \(\displaystyle{ \frac{x}{c}}\)(z trójkąta \(\displaystyle{ AED}\)) to też \(\displaystyle{ \frac{c}{x+2c}}\) (z trójkąta \(\displaystyle{ ABD}\))

Czyli jest \(\displaystyle{ \frac{x}{c}=\frac{c}{x+2c}}\) z tego wyznaczyć (jak będzie problem to pytać) szukane.

Problemu nie ma dziękuję