Matematyka.pl

Obwód trapezu równoramiennego jest równy (8\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) + 24)cm. Oblicz pole tego trapezu, jeżeli jego wysokość jest równa 2\(\displaystyle{ \sqrt{3cm}}\) , a miara kąta ostrego wynosi 30 stopni

Będziemy bazować bez rysunku
Niech a-gorna podstawa (krótsza), b- dłuższa podstawa (dłuższa). Ponadto klasyczne oznaczenie ABCD od lewej strony. Z wierzchołków C i D, prowadzisz wysokości. Podzielą oną dolną podstawę na 3 odcinki. Pierwszy i trzeci odcinek są sobie równe (oznaczmy je jako x) a drugi jest równy krótszej podstawie (a).

Użyjmy właściwosci f. trygonometrycznej:

\(\displaystyle{ tg30= \frac{h}{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{3} = \frac{2 \sqrt{3} }{x}}\)
\(\displaystyle{ x=6}\)

\(\displaystyle{ sin30= \frac{h}{c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} = \frac{2 \sqrt{3} }{c}}\)
\(\displaystyle{ c=4 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ Ob=a+b+2c=2a+2x+2c}\)
\(\displaystyle{ 8 \sqrt{3} +24=2a+2*6+2*4 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ 2a=12}\)
\(\displaystyle{ a=6}\)

Czyli boki mają odpowiedno długosci:
\(\displaystyle{ a=6}\)
\(\displaystyle{ b=a+2x=6+12=18}\)
\(\displaystyle{ c=4 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ P_{trapezu}= \frac{a+b}{2}*h= \frac{6+18}{2}*2 \sqrt{3}=24 \sqrt{3}}\)