Matematyka.pl

W jednym z zadań optymalizacyjnym należało na starcie udowodnić, że gdy mamy czworokąt o danych bokach a, a, 2a oraz pewnym zmiennym x, to największe pole ma trapez równoramienny o podstawach 2a oraz x.

Jak często to u nas bywa, dowiedziałem się o konieczności zamieszczenia tego dowodu niemal przy oddawaniu kartek...

Cały czas zastanawiało mnie to, w jaki sposób to udowodnić. Na drugi dzień wpadłem na to, że można to udowodnić stosując porównanie pól za pomocą kątów wierzchołkowych i wynikających z tego obrotów o \(\displaystyle{ 180^{o}}\). Jest to metoda bez wątpienia konstrukcyjna, ale nie da się na nią znaleźć kontrprzykładu, dlatego dowód uznaję za dokonany. Przezentuje to obrazek poniżej:



Dalsze przemyślenia polegały na dojściu do dowodu na drodze obliczeń. Można było poprowadzić pewną przekątną i liczyć ze wzoru Herona, ale wybrałem metodę znacznie bardziej czasochłonną, tzw. "na chama", czyli:



Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ \alpha, \beta (0;\frac{\pi}{2})}\)Można zauważyć, że pola trapezu (T) i czworokąta (C) wyrażają się wzorami:

\(\displaystyle{ P_{T}= a^{2}(2 cos\alpha + sin\alpha cos\alpha)\\P_{C}=\frac{a^{2}}{2}(cos\alpha + cos\beta)(sin\alpha + sin\beta +2)}\)

I teraz gwóźdź programu... \(\displaystyle{ P_{T}\leq P_{C}}\). Kombinowałem na różne sposoby, ale tą metodą nic mi nie wychodziło... Jest ktoś wstanie to rozpisać po swojemu, jeżeli komuś to wyszło? Wiem że jest tu nierówność z dwoma niewiadomymi, więc może ktoś ma na to jakiś sposób

Pozdrawiam

Wlasnie - wzor Herona. Istota zadan optymalizacyjnych polega glownie od uzaleznienia optymalizacylnej wielkosci od niewiadomych i znalezieniu maksimum (minimum) tej wielkosci.Rzeczywiscie podzielenie figury na dwa trojkaty ,policzenie ich pol(w zaleznosci od x co jest wykonalne dzieki Heronowi) za ich pomoca pola szukanej wielkosc
Otrzymasz Pt(x), a dalej chyba wiesz jak dzialac za pomoca pochodnych...
Powinienes otrzymac wielkosc typu 0.5(a+2a)*m*h(m) gdzie to x dla ktorego P(m) osiaga wartosc maksymalna a h(m) to zaleznosc wysokosci trapezu od m(takze od a)
Twojego sposobu nie polecam nikomu - zwlaszcza 5min przed koncem:) (zreszta Heronem tez bys chyba nia zdazyl...)

Aha - zapomniałem dopisać - w tym temacie oczekuję porady jedynie co do tej nierówności z dwoma niewiadomymi, czyli jak udowodnić, że:

\(\displaystyle{ a^{2}(2 cos\alpha + sin\alpha cos\alpha) > \frac{a^{2}}{2}(cos\alpha + cos\beta)(sin\alpha + sin\beta +2)}\), przy założeniu, że: \(\displaystyle{ \alpha, \beta (0;\frac{\pi}{2})}\).

Ktoś ma jakiś pomysł na tego typu nierówność tożsamościową? Przekształcać można na wiele sposobów, ale nie da się dojść do jakiejś prostej formy, z której można od razu wyciągnąć wnioski...