Sześciokąt wpisany w okrąg

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
matma123345
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 26 mar 2022, o 15:28
Płeć: Mężczyzna
wiek: 27

Sześciokąt wpisany w okrąg

Post autor: matma123345 »

W sześciokacie \(\displaystyle{ ABCDEF}\) wpisanym w okrąg boki \(\displaystyle{ AB, CD}\) i \(\displaystyle{ EF}\) są równe, zaś przekątne \(\displaystyle{ AD, BE}\) i \(\displaystyle{ CF}\) przecinają się w jednym punkcie. Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie punktem przecięcia się przekątnych \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ CE}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \frac{|CP|}{|PE|}=\left( \frac{|AC|}{|CE|}\right)^2.}\)
Ostatnio zmieniony 26 mar 2022, o 15:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Sześciokąt wpisany w okrąg

Post autor: arek1357 »

Wskazówka:

Zauważ, że jak oznaczysz wierzchołki sześciokąta \(\displaystyle{ ABCDEF}\) zgodnie do ruchu wskazówek zegara, wtedy boki:

\(\displaystyle{ AB=CD=EF}\), Punkt G jest punktem przecięcia się przekątnych: \(\displaystyle{ AD, FC, BE}\) , punkt \(\displaystyle{ P}\) punktem przecięcia się przekątnych:

\(\displaystyle{ AD \wedge CE}\),

Wtedy łatwo udowodnić za pomocą kątów opartych na tym samym łuku, że trójkąt:

\(\displaystyle{ ACE }\) jest podobny do trójkąta\(\displaystyle{ DEG }\) oraz do trójkąta \(\displaystyle{ CDG}\)

Poza tym łatwo wykazać też z kątów opartych na tym samym łuku, że: \(\displaystyle{ FC \left| \right| ED}\)

Zresztą: \(\displaystyle{ CFED}\) to trapez równoramienny,

Trójkaty: \(\displaystyle{ CGP}\) oraz \(\displaystyle{ PED}\) też są podobne

Z podobieństwa trójkątów weźmiesz stosunki boków odpowiednich i powinno wyjść...

Całe zadanie opiera się na kątach opartych na tym samym łuku koła i z tego trzeba korzystać...
ODPOWIEDZ