Matematyka.pl

Na płaszczyźnie jest zbiór \(\displaystyle{ X}\) złożony z \(\displaystyle{ n}\) różnych punktów. Zbiór \(\displaystyle{ Y}\) to zbiór środków odcinków, których końce są elementami \(\displaystyle{ X}\). Ile maksymalnie a ile minimalnie elementów może mieć zbiór \(\displaystyle{ Y }\)

Maksymalnie to oczywiście może być \(\displaystyle{ \frac{n\left( n-1\right) }{2}}\) punktów- łączymy punkt każdy z każdym i znajdujemy środek takiego odcinka. Widać, że działa to dla \(\displaystyle{ n=2}\), i dla \(\displaystyle{ n=3}\). Dalej to nie wiem...

Przy minimach wydaje się, że figury środkowosymetryczne mają najmniej punktów typu \(\displaystyle{ Y}\) a więc np. punktowe foremniaki...

Bo każda figura ograniczona ma tylko jeden środek symetrii...Ale może są jeszcze mniejsze Y-greki

N-kąt foremny ma n/2 odcinków o wspólnym środku, ale równie dobrze możemy te n punktów umieścić na jednej prostej w taki sposób, żeby były symetrycznie względem środka, też n/2 będzie miało wspólny

Minimalna moc zbioru \(\displaystyle{ Y}\) wynosi \(\displaystyle{ 2n-3}\) i jest osiągana dla \(\displaystyle{ X = \{ 0, 1, \ldots, n-1 \} \times \{ 0 \}}\).

Istotnie: rozważmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ X \subseteq \mathbb{R}^2}\) mocy \(\displaystyle{ n}\). Dla każdej pary różnych punktów \(\displaystyle{ p, q \in X}\) istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych, taka że rzuty prostopadłe \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) na tę prostą są identyczne - oczywiście jest to prosta prostopadła do wektora \(\displaystyle{ \vec{pq}}\). Istnieje zatem taka prosta, na którą rzuty wszystkich punktów z \(\displaystyle{ X}\) są różne. Poprzez obrót możemy założyć, że tą prostą jest \(\displaystyle{ \mathbb{R} \times \{ 0 \}}\), tj. pierwsze współrzędne punktów z \(\displaystyle{ X}\) są różne.

Mamy zatem \(\displaystyle{ X = \{ (x_i, y_i) : 1 \le i \le n \}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_1 < \ldots < x_n}\). Wtedy też

\(\displaystyle{ \frac{x_1+x_2}{2} < \frac{x_1+x_3}{2} < \ldots < \frac{x_1+x_n}{2} < \frac{x_2+x_n}{2} < \ldots < \frac{x_{n-1}+x_n}{2}}\).

Oczywiście \(\displaystyle{ Y = \left\{ \left( \frac{x_i+x_j}{2}, \frac{y_i+y_j}{2} \right) : 1 \le i < j \le n \right\}}\). Z powyższych rozważań wynika, że pewne \(\displaystyle{ 2n-3}\) spośród wszystkich elementów \(\displaystyle{ Y}\) mają różne pierwsze współrzędne. Stąd \(\displaystyle{ |Y| \ge 2n-3}\), zatem w istocie jest to najmniejsza możliwa moc \(\displaystyle{ Y}\).