Czy kwadtrat o boku \(\displaystyle{ n(n+1)}\) można rozciąć \(\displaystyle{ (n+1)^2}\) prostokątów o bokach \(\displaystyle{ 1 \times n^2 }\) 
Rozcięcie kwadratu
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11473
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3157 razy
- Pomógł: 748 razy
Rozcięcie kwadratu
Czy kwadtrat o boku \(\displaystyle{ n(n+1)}\) można rozciąć \(\displaystyle{ (n+1)^2}\) prostokątów o bokach \(\displaystyle{ 1 \times n^2 }\) 
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8589
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3352 razy
Re: Rozcięcie kwadratu
Zakładam, że takie pokrycie jest możliwe dla \(\displaystyle{ n>1}\) . Ponieważ pole kwadratu i pole \(\displaystyle{ (n+1)^2}\) prostokątów są równe, to ich boki muszą być równoległe lub prostopadłe.
1) Jednostkowy kwadracik leżący w wierzchołku kwadratu zawiera prostokąt którego większy bok pokrywa się z bokiem kwadratu. Pozostałe \(\displaystyle{ n(n+1)-n^2}\) kwadracików jednostkowych na tym boku kwadratu muszą należeć do \(\displaystyle{ n}\) prostokątów.
2) Jeden z tych \(\displaystyle{ n}\) prostokątów zawiera kwadracik z drugim wierzchołkiem kwadratu i jego większy bok pokrywa się z bokiem kwadratu. Wymusza to położenie kolejnych \(\displaystyle{ n}\) prostokątów jak w 1) .
3) Jeden z \(\displaystyle{ n}\) prostokątów układanych w 2) zawiera kwadracik z trzecim wierzchołkiem kwadratu i jego większy bok pokrywa się z bokiem kwadratu. Wymusza to położenie kolejnych \(\displaystyle{ n}\) prostokątów jak w 1) .
4) Jeden z \(\displaystyle{ n}\) prostokątów układanych w 3) zawiera kwadracik z ostatnim wierzchołkiem kwadratu i jego większy bok pokrywa się z bokiem kwadratu. Wymusza to położenie kolejnych \(\displaystyle{ n-1}\) (bo prostokąt z wierzchołkiem kwadratu już jest) prostokątów jak w 1) .
5) Niepokryta prostokątami część kwadratu jest kwadratem o boku \(\displaystyle{ n^2-n}\) , co jest wielkością mniejszą niż dłuższy bok prostokąta. Ergo , pokrycie nie jest możliwe.
1) Jednostkowy kwadracik leżący w wierzchołku kwadratu zawiera prostokąt którego większy bok pokrywa się z bokiem kwadratu. Pozostałe \(\displaystyle{ n(n+1)-n^2}\) kwadracików jednostkowych na tym boku kwadratu muszą należeć do \(\displaystyle{ n}\) prostokątów.
2) Jeden z tych \(\displaystyle{ n}\) prostokątów zawiera kwadracik z drugim wierzchołkiem kwadratu i jego większy bok pokrywa się z bokiem kwadratu. Wymusza to położenie kolejnych \(\displaystyle{ n}\) prostokątów jak w 1) .
3) Jeden z \(\displaystyle{ n}\) prostokątów układanych w 2) zawiera kwadracik z trzecim wierzchołkiem kwadratu i jego większy bok pokrywa się z bokiem kwadratu. Wymusza to położenie kolejnych \(\displaystyle{ n}\) prostokątów jak w 1) .
4) Jeden z \(\displaystyle{ n}\) prostokątów układanych w 3) zawiera kwadracik z ostatnim wierzchołkiem kwadratu i jego większy bok pokrywa się z bokiem kwadratu. Wymusza to położenie kolejnych \(\displaystyle{ n-1}\) (bo prostokąt z wierzchołkiem kwadratu już jest) prostokątów jak w 1) .
5) Niepokryta prostokątami część kwadratu jest kwadratem o boku \(\displaystyle{ n^2-n}\) , co jest wielkością mniejszą niż dłuższy bok prostokąta. Ergo , pokrycie nie jest możliwe.