Matematyka.pl

Jedna z przekątnych czworokąta podzieliła go na dwa trójkąty w które wpisano okręgi. Są one styczne (w jakimś punkcie na tej przekątnej). Udowodnić, że wtedy okręgi wpisane w trójkąty na które dzieli czworokąt druga przekątna też są styczne.

Wskazówka: rozważyć odcinki styczne do tych okręgów. I może nie robić wszystkiego na jednym rysunku, tylko udowodnić najpierw, jaką własność ma czworokąt z takim założeniem, a potem dla takiego czworokąta pokazać, że każda przekątna podzieli go na takie specjalne trójkąty.

Co ciekawe, założenie wypukłości czworokąta nie jest konieczne i można to twierdzenie udowodnić również dla czworokąta wklęsłego, tylko tam już raczej dla przekonującego dowodu trzeba osobno wyjść od przekątnej wewnętrznej i zewnętrznej.

\(\displaystyle{ |AB|+|CD|=a+b+c+d=(b+c)+(a+d)=|BC|+|AD|}\)
W czworokąt ABCD można wpisać okrąg. Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\)
\(\displaystyle{ |AE|=|AG|=a_1\\
|EB|=|BF|=a_2\\\\
|FC|=|CG|=a_3}\)

Trójkąt \(\displaystyle{ ACD}\)
\(\displaystyle{ |AH|=|AJ|=b_1\\
|HC|=|CI|=b_2\\\\
|ID|=|DJ|=b_3}\)

Przekątna \(\displaystyle{ AC}\)
\(\displaystyle{ |AC|=|AG|+|GC|=a_1+a_3\\
|AC|=|AH|+|HC|=b_1+b_2\\
a_1+a_3=b_1+b_2\\\\
a_1+a_3-b_1-b_2=0}\)

W czworokąt \(\displaystyle{ ABCD }\) można wpisać okrąg
\(\displaystyle{ a_1+a_2+b_2+b_3=a_2+a_3+b_1+b_3\\\\
a_1+a_2+b_2+b_3-a_2-a_3-b_1-b_3=0\\\\
a_1-a_3-b_1+b_2=0}\)

\(\displaystyle{ +\begin{cases} a_1+a_3-b_1-b_2=0\\a_1-a_3-b_1+b_2=0\end{cases}\\
\underline{\phantom{99999999999999999999}}\\
\ \ \ \ \ \ 2a_1-2b_1=0\\
\ \ \ \ \ \ 2a_1=2b_1\ \ \ |:2\\
\ \ \ \ \ \ \ \ a_1=b_1\\\\
\ \ \ \ \ |AG|=|AH|}\)

Punkt \(\displaystyle{ G}\) pokrywa się z punktem \(\displaystyle{ H}\).
Okręgi są styczne.