Matematyka.pl

Na prostej zaznaczono \(\displaystyle{ n^2+ 1}\) przedziałów domkniętych. Wykazać, że wśród tych przedziałów istnieje \(\displaystyle{ n+ 1}\) przedziałów mających punkt wspólny lub istnieje \(\displaystyle{ n+ 1}\) przedziałów, z których dowolne dwa są rozłączne.

Założenie indukcyjne dla \(\displaystyle{ n-1}\). założenie prawdziwe bo dla \(\displaystyle{ n=1,2}\) łatwo sprawdzić, że to prawda...

Weźmy \(\displaystyle{ n^2+1}\) przedziałów, weźmy przedział \(\displaystyle{ \left[ a;b\right] }\) taki, że: b najmniejsza liczba z tych co stoją po prawej...

Każdy spośród \(\displaystyle{ n^2}\) przedziałów albo zawiera \(\displaystyle{ b}\) albo ma lewy koniec większy od \(\displaystyle{ b}\)...
Jeżeli \(\displaystyle{ n}\) przedziałów zawiera \(\displaystyle{ b}\) to wraz z \(\displaystyle{ \left[ a;b\right] }\) , jest ich \(\displaystyle{ n+1}\) (mają punkt wspólny)...

Jeżeli teraz co najwyżej \(\displaystyle{ n-1}\) spośród \(\displaystyle{ n^2}\) zawiera \(\displaystyle{ b}\), zatem co najmniej:

\(\displaystyle{ n^2-(n-1)=n(n-1)+1}\) ma lewy koniec większy od \(\displaystyle{ b}\), ale z założenia ind. można znaleźć \(\displaystyle{ n}\) przedziałów mających punkt wspólny lub \(\displaystyle{ n}\) z których dwa są rozłączne. W pierwszej sytuacji mamy tezę bo dochodzi przedział \(\displaystyle{ \left[ a;b\right] }\)...
Jeżeli istnieje n przedziałów z których każde są rozłączne to też jest każdy rozłączny z przedziałem \(\displaystyle{ \left[ a;b\right] }\) co daje tezę...
cnd...