Rozważmy dowolny równoległobok wpisany w taki sposób. Pokaż, że jego obwód jest równy sumie długości przekątnych prostokąta, czyli nie zależy od wyboru równoległoboku.
Dowód, nie patrzeć jeżeli nie zastanowiłaś się nad wskazówką:
Niech prostokąt nazywa się \(\displaystyle{ ABCD}\), zaś równoległobok wpisany to \(\displaystyle{ KLMN}\) przy czym \(\displaystyle{ K}\) leży na \(\displaystyle{ AB}\) itd. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ S}\) środek \(\displaystyle{ KL}\), zaś przez \(\displaystyle{ T}\) środek \(\displaystyle{ MN}\). Wówczas mamy z trójkąta prostokątnego \(\displaystyle{ SK=SL=SB}\) a stąd \(\displaystyle{ KL=2SB}\). Dla trójkąta przy wierzchołku \(\displaystyle{ D}\) mamy podobnie \(\displaystyle{ MN=2DT}\). Ponadto \(\displaystyle{ 2LM=2ST}\). Dodając stronami trzy wyprowadzone równości dostajemy tezę.
