Matematyka.pl

Mam takie zadanko, no i nie wiem jak rozwiązać. Otóż:

Dane są pola P1 i P2 dwóch trójkątów, których odstawami są podstawy trapezu, a wspólnym wierzchołkiem punkt przecięcia przekątnych trapezu. Oblicz pole trapezu.

Ma ktoś pomysł?

Odejmij.

Na dobry poczatek ustalmy oznaczenia:
Niech a - dolna postawa trapezu, P1 - pole trojkata o postawie a, h1 - wysokosc tego trojkata
b - gorna postawa trapezu, P2 - pole trojkata o podstawie b, h2 - wysokosc trojkata.
Korzystam z tego ze te trojkaty sa podobne (cecha kkk), czyli
\(\displaystyle{ \frac{P_{1}}{P_{2}}=k^2}\) gdzie \(\displaystyle{ k>0}\), stad mamy, ze \(\displaystyle{ k=\sqrt{\frac{P_{1}}{P_{2}}}}\) k oczywiscie jest skala podobienstwa.
Dalej korzystamy z podobienstwa tych trojkatow i zauwazamy zwiazki miedzy obpowiednimi dlugosciami:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}=\sqrt{\frac{P_{1}}P_{2}}}\), stad otrzymujemy \(\displaystyle{ a=b\sqrt{\frac{P_{1}}P_{2}}}\).
\(\displaystyle{ \frac{h_{1}}{h_{2}}=\sqrt{\frac{P_{1}}P_{2}}}\), stad otrzymujemy \(\displaystyle{ h_{1}=h_{2}\sqrt{\frac{P_{1}}{P_{2}}}}\)
Te dane wstawiamy do wzoru na pole trapezu:
\(\displaystyle{ P=\frac{\(b+b\sqrt{\frac{P_{1}}P_{2}}\)\(h_{2}+h_{2}\sqrt{\frac{P_{1}}P_{2}}\)}{2}}\)
Po drobnych przekształceniach:
\(\displaystyle{ P=\frac{bh_{2}\(1+\sqrt{\frac{P_{1}}P_{2}}\)^2}{2}}\)
No i ostatnia informacja to taka, ze \(\displaystyle{ P_{2}=\frac{1}{2}bh_{2}}\), stad otrzymujemy \(\displaystyle{ bh_{2}=2P_{2}}\)
Wstawiajac to do wzoru na pole trapezu i drobnie przeksztalcajac otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P=P_{2}\(1+\sqrt{\frac{P_{1}}P_{2}}\)^2}\)

Kolega zygmunt chyba mnie nie zrozumiał, a koleżanka ola w pełni. Śliczne dzięki no i szczesliwego nowego roku

olazola pisze: Te dane wstawiamy do wzoru na pole trapezu:
\(\displaystyle{ P=\frac{\(b+b\sqrt{\frac{P_{1}}P_{2}}\)\(h_{2}+h_{2}\sqrt{\frac{P_{1}}P_{2}}\)}{2}}\)

Może dalej nie rozumiem, ale dlaczgo ten trapez ma wysokość h1+h2?

To moze od konca zaczne. Jesli w dowolnym trapezie wykreslimy przekatne, to podziela one nam ten trapez na cztery trojkaty. W tym zadaniu chodzilo i te trojkaty ktore maja w swoich bokach podstawy trapezu (jeden trojkat jedna podstawa).

Dziękuję, jak zwykle nie doczytałem zadania