Matematyka.pl

Wierzchołki podstawy trapezu wpisanego w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ R}\) są końcami ustalonej średnicy.. Jaka powinna być długość krótszej podstawy trapezu, aby miał on jak największe pole ?

1) Z tw. cosinusów mamy:
\(\displaystyle{ b^2=R^2+R^2-2r^2\cos\(180^{\circ}-2x\)\\b^2=2R^2+2R^2\cos 2x\\b^2=2R^2+2R^2\(1-2sin^2x\)\\b^2=4R^2\(1-\sin^2x\)}\)

2)
\(\displaystyle{ \sin x=\frac{h}{R}}\) - co wstawiamy do 1) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ h=\frac{\sqrt{4R^2-b^2}}{2}}\)

3) Wstawiamy dane do pola:
\(\displaystyle{ P=\frac{2R+b}{2}\cdot\frac{\sqrt{4R^2-b^2}}{2}}\)

Dalej pochodna ze względu na b.

Dla ułatwienia pochodna ze względu na b wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{4R^{2}-b^{2}-2R-2b}{4\sqrt{4R^{2}-b^{2}}}\)
pamiętaj, że 4R�>b�

Moim zdaniem pochodna wygląda tak:
\(\displaystyle{ P^'(b)=\frac{2R^2-b^2-Rb}{2\sqrt{4R^2-b^2}}}\)

Jak już zaszliśmy tak daleko, to rozwiążmy to do końca:
\(\displaystyle{ P^'(b)=0\ \Longleftrightarrow\ b^2+Rb-2R^2=0\\\Delta=9R^2\\\sqrt{\Delta}=3R\\b_{1}=-2R\ \ b_{2}=R}\)
Wiemy że długość jest l. dodatnią więc b=R.

Może napiszę jak ja tą pochodną policzyłam - łatwiej będzie znaleźć błąd jeśli jest. Proszę mnie skorygować jeśli źle myślę. Skorzystałam ze wzoru [f(x) g(x)]'=f'(x) g(x) + g'(x) f(x)
Są mi więc potrzebne pochodne obu czynników wchodzących w skład funkcji pierwotnej. Pierwszy czynnik można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ R+\frac{1}{2}b}\) z tego pochodna ze względu na b wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) teraz obliczam pochodną ze względu na b z drugiego czynnika. Drugi czynnik można zapisać tak \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sqrt{4R^{2}-b{2}}}\) a żeby z tego obliczyć pochodną korzystam ze wzoru (f[g(x)])'=f'[g(x)]*g'(x) i tu właśni chyba pokręciłam bo gdy obliczałam pochodną z drugiego czynnika to napisałam \(\displaystyle{ \frac{-1}{2\sqrt{4R^{2}-b^{2}}}\) w liczniku powinno być -b, a nie -1 przepraszam zapomyłkę. Na błędach człowiek się uczy.